Synonimy w matematyce

[elbargetni]

Ucząc się rachunku prawdopodobieństwa zetknąłem się z pojęciami przestrzeń (np. przestrzeń zdarzeń elementarnych), rodzina (np. rodzina zmiennych losowych) czy zbiór.

Gdy w tekstach matematycznych napotykam wyrażenia 'przestrzeń' i 'rodzina' są one dla mnie trochę słabo zrozumiałe, czy mogę te słowa zastąpić słowem 'zbiór', czy są to synonimy?
Mógłby ktoś wyjaśnić mi ewentualnie różnice, bo jak słyszę pojęcie zbiór i mimo, że jest to pojęcie pierwotne, to łatwiej mi jest wyobrazić sobie pewne definicje, z kolei z przestrzenią i rodziną jest mi trudniej.

[Peter Zof]

Przestrzeń w matematyce najczęściej oznacza zbiór z pewną strukturą zadaną na tym zbiorze. Mamy przykładowo przestrzeń topologiczną zdefiniowaną jako parę \(\displaystyle{ (X,\tau)}\), gdzie \(\displaystyle{ \tau \subseteq \mathcal{P}(X)}\). W teorii miary mamy przestrzeń miarową zdefiniowaną jako \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{F}, \mu)}\), tak więc znów mamy zbiór i pewną strukturę związaną z tym zbiorem. W ten sposób nie myślisz o zbiorze \(\displaystyle{ X}\) jako o samym "suchym" zbiorze, ale o zbiorze z pewną strukturą (przykładowo właśnie miarową). W algebrze ogólnej jak wiadomo przez grupę rozumie się strukturę \(\displaystyle{ \left(\mathcal{G},e,\circ \right)}\) spełniającą odpowiednie aksjomaty teorii grup. Oczywiście na tym samym zbiorze \(\displaystyle{ \mathcal{G}}\) możemy zadać inną strukturę (niekoniecznie algebraiczną) i przykładowo zrobić z \(\displaystyle{ \mathcal{G}}\) przestrzeń topologiczną wyróżniając rodzinę \(\displaystyle{ \tau}\) podzbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{G}}\) tak, aby struktura \(\displaystyle{ (\mathcal{G},\tau)}\) spełniała aksjomaty przestrzeni topologicznych.

[elbargetni]

A czy 'ciało' mogę utożsamiać z pojęciem zbiór, czyli pojęcie ciało zbiorów jest równoznaczne z pojęciem zbiór zbiorów?

[Peter Zof]

Jeśli chodzi Ci o ciało zbiorów to jest to po prostu rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subseteq \mathcal{P}(X)}\) (spełaniająca pewne aksjomaty). Tak więc formalnie ciało zbiorów można traktować jako parę \(\displaystyle{ (X, \mathcal{R})}\). Może najlepiej zobaczyć to na jakimś fajnym przykładzie.

W geometrii różniczkowej wprowadza się pojęcie przestrzeni stycznej do rozmaitości \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\) w punkcie \(\displaystyle{ p \in \mathcal{M}}\). Przestrzeń styczną definiuje się jako zbiór \(\displaystyle{ T_p \mathcal{M}}\) wszystkich krzywych (będących co najmniej klasy \(\displaystyle{ C^1}\)) przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ p}\) tej rozmaitości. Wcześniej pokreśliłem słowo przestrzeń, a mamy tu tylko zbiór! Wprowadzamy bowiem w tym zbiorze strukturę przestrzeni liniowej zadaną przez dwa działania, dodawania dwóch elementów i mnożenia ich przez skalary - w ten sposób zbiór \(\displaystyle{ T_p \mathcal{M}}\) staje się przestrzenią wektorową. Nie chcę wchodzić tu w szczegóły, ponieważ nie wiem jak bardzo jesteś zaznajomiony z geometrią różniczkową.

W każdym razie chodzi o to, aby najpierw zrozumieć dobrze obiekty z którymi ma się kontakt. Musisz dobrze rozumieć z jakimi dokładnie bytami masz doczynienia.

[Jan Kraszewski]

Gdy w tekstach matematycznych napotykam wyrażenia 'przestrzeń' i 'rodzina' są one dla mnie trochę słabo zrozumiałe, czy mogę te słowa zastąpić słowem 'zbiór', czy są to synonimy?

Pojęcie "rodzina zbiorów" jest strawniejszą wersją "zbioru zbiorów".

JK