Wyznacz współrzędne punktów wspólnych wykresów funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\).
\(\displaystyle{ f(x) = \left| 2^{x+1} - 2 \right| \ \ g(x) = 1 - \left( x+1\right)^{2}}\)
Graficznie to rozwiązałem, jednak chciałbym wiedzieć jak to rozwiązać równaniem. Nie wiem co dalej zrobić z postacią
\(\displaystyle{ 2^{x+1} = -x^{2} -2x + 2}\)
Punkty wspólne - f. wykładnicza i kwadratowa
-
zanstaszek9
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 18 wrz 2016, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubelskie
- Podziękował: 5 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Punkty wspólne - f. wykładnicza i kwadratowa
Można zgadnąć rozwiązanie \(\displaystyle{ x=0}\). Dalej:
dla \(\displaystyle{ x>0}\) rozważamy funkcję \(\displaystyle{ h(x)=2^{x+1}+x^2+2x-2}\) i widzimy, że \(\displaystyle{ h'(x)=\ln 2 \cdot 2^{x+1}+2x+2>0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\), więc w tym zakresie nie ma rozwiązań, bo \(\displaystyle{ h}\) jest rosnąca
w \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) i \(\displaystyle{ f(0)=0}\).
Pozostaje rozważyć \(\displaystyle{ x<0}\). Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ \left| 2^{x+1} - 2 \right|=2-2^{x+1}}\)
i mamy równanie \(\displaystyle{ 2-2^{x+1}=-x^2-2x}\), tj.
\(\displaystyle{ 2^{x+1}-x^2-2x-2=0}\)
Tu znowu możemy zgadnąć rozwiązanie \(\displaystyle{ x=-1}\), a dalej:
rozpatrujemy \(\displaystyle{ u(x)=2^{x+1}-x^2-2x-2}\) i widzimy, że
\(\displaystyle{ u(x)=2^{x+1}-1-(x+1)^2}\), a dla \(\displaystyle{ x < -1}\) mamy
\(\displaystyle{ 2^{x+1}-1< 0 \text{ oraz } -(x+1)^2 < 0}\), skąd płynie wniosek, że nie istnieją rozwiązania wyjściowego równania mniejsze od \(\displaystyle{ -1}\).
Pozostaje rozpatrzyć przedział \(\displaystyle{ (-1,0)}\), co zostawiam jako ćwiczenie:
najpierw u będzie rosnąć, więc będzie się robić większa od \(\displaystyle{ u(-1)=0}\), potem będzie maleć, zaś \(\displaystyle{ u(0)=0}\). Należałoby więc pokazać, że w przedziale \(\displaystyle{ (-1,0)}\) pochodna funkcji \(\displaystyle{ u}\) zmienia znak tylko raz i będzie po balu.
dla \(\displaystyle{ x>0}\) rozważamy funkcję \(\displaystyle{ h(x)=2^{x+1}+x^2+2x-2}\) i widzimy, że \(\displaystyle{ h'(x)=\ln 2 \cdot 2^{x+1}+2x+2>0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\), więc w tym zakresie nie ma rozwiązań, bo \(\displaystyle{ h}\) jest rosnąca
w \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) i \(\displaystyle{ f(0)=0}\).
Pozostaje rozważyć \(\displaystyle{ x<0}\). Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ \left| 2^{x+1} - 2 \right|=2-2^{x+1}}\)
i mamy równanie \(\displaystyle{ 2-2^{x+1}=-x^2-2x}\), tj.
\(\displaystyle{ 2^{x+1}-x^2-2x-2=0}\)
Tu znowu możemy zgadnąć rozwiązanie \(\displaystyle{ x=-1}\), a dalej:
rozpatrujemy \(\displaystyle{ u(x)=2^{x+1}-x^2-2x-2}\) i widzimy, że
\(\displaystyle{ u(x)=2^{x+1}-1-(x+1)^2}\), a dla \(\displaystyle{ x < -1}\) mamy
\(\displaystyle{ 2^{x+1}-1< 0 \text{ oraz } -(x+1)^2 < 0}\), skąd płynie wniosek, że nie istnieją rozwiązania wyjściowego równania mniejsze od \(\displaystyle{ -1}\).
Pozostaje rozpatrzyć przedział \(\displaystyle{ (-1,0)}\), co zostawiam jako ćwiczenie:
najpierw u będzie rosnąć, więc będzie się robić większa od \(\displaystyle{ u(-1)=0}\), potem będzie maleć, zaś \(\displaystyle{ u(0)=0}\). Należałoby więc pokazać, że w przedziale \(\displaystyle{ (-1,0)}\) pochodna funkcji \(\displaystyle{ u}\) zmienia znak tylko raz i będzie po balu.