Pokaż, że zachodzi równość

[elbargetni]

Pokaż, że:

\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{\infty} {i \choose n} \cdot x^{i} = \frac{x^n}{(1-x)^{n+1}}}\)

[miodzio1988]

Zmień granice sumowania najpierw

[elbargetni]

\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{\infty} {i \choose n} \cdot x^{i} =
\sum_{i=0}^{\infty} {n+i \choose n} \cdot x^{n+i} = x^n \cdot \sum_{i=0}^{\infty} {n+i \choose n} \cdot x^{i}}\)

[miodzio1988]

juz jeden składnik zatem masz, teraz pokaż, że ta suma jest resztą

[elbargetni]

Tylko nie wiem jak

[Janusz Tracz]

szkic dowodu z wykorzystaniem indukcji :

Ukryta treść:    

wykorzystam indukcję by udowodnić \(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{\infty} {i \choose n} \cdot x^{i} = \frac{x^n}{(1-x)^{n+1}}}\)
sprawdzam najpierw \(\displaystyle{ n=0}\) .Jest prawdą oczywiście że \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \infty }1 \cdot x^i= \frac{1}{1-x}}\)

Więc udowodnijmy implikacje \(\displaystyle{ T(n) \Rightarrow T(n+1)}\) z założenia prawdziwości \(\displaystyle{ T(n)}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=n+1}^{\infty} {i \choose n+1} \cdot x^{i} = \frac{x^{n+1}}{(1-x)^{n+2}}}\)

wykorzystując wzór \(\displaystyle{ {i \choose n+1}= {i \choose n} \frac{i-n}{n+1}}\)

oraz rozpiszmy sumę zaczynającą się od \(\displaystyle{ n+1}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=n+1}^{ \infty } {i \choose n+1}x^i= \sum_{i=n}^{ \infty } {i \choose n+1}x^i-x^n}\)

wykorzystajmy wzór i porównajmy :

\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{ \infty } {i \choose n}\left[ \frac{1+i}{n+1}-1 \right]x^i= \frac{x^{n+1}}{(1-x)^{n+2}} +x^n}\)

rozpiszmy lewą stronę tak by wydzielić \(\displaystyle{ T(n)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} \sum_{i=n}^{ \infty }{i \choose n}ix^i+ \frac{1}{n+1} \sum_{i=n}^{ \infty } {i \choose n}x^i- \sum_{i=n}^{ \infty } {i \choose n}x^i=\frac{x^{n+1}}{(1-x)^{n+2}} +x^n}\)

skorzystajmy z założeń indykcji

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} \sum_{i=n}^{ \infty } {i \choose n}ix^i- \frac{n}{n+1} \cdot \frac{x^n}{(1-x)^{n+1}}=\frac{x^{n+1}}{(1-x)^{n+2}} +x^n}\)

po uporządkowaniu zostanie nam udowodnić :

\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{ \infty } {i \choose n}ix^i= \frac{(n+1)x^{n+1}}{(1-x)^{n+2}}+(n+1)x^n+ \frac{nx^n}{(1-x)^{n+1}}}\)

pomysł żeby to zrobić jest taki :
-zróżniczkujmy obustronnie założenie indykcyjne
-pomnóżmy to co dostaniemy obustronnie przez \(\displaystyle{ x}\)

wtedy lewa strona będzie właśnie tym czego sykamy czyli \(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{ \infty } {i \choose n}ix^i}\)

a prawa będzie równa \(\displaystyle{ x \cdot \left( \frac{x^n}{(1-x)^{n+1}}\right)'}\)

wniosek jeśli się nie pomyliłem to :

\(\displaystyle{ x \cdot \left( \frac{x^n}{(1-x)^{n+1}}\right)'=\frac{(n+1)x^{n+1}}{(1-x)^{n+2}}+(n+1)x^n+ \frac{nx^n}{(1-x)^{n+1}}}\)

jeśli tak jest to dowód jest zakończony

PS. Potraktuj to bardziej jako wskazówkę a nie formalny dowód bo istnieje duże prawdopodobieństwo że mogłem pomylić się w obliczeniach. Wymyśliłem ten sposób bo mi się skojarzył z indukcją ale pewnie istnieje bardziej eleganckie i szybsze wyprowadzenie tej zależności.W trakcie powołałem się również na twierdzenie o różniczkowaniu szeregów potęgowych choć wolałem to przemilczeć bo nie wiem jak to udowodnić.

[kerajs]

Inaczej

Ukryta treść:    

Rozwijając \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^{n+1}}}\) w szereg Maclaurina mam
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^{n+1}}=1+(n+1)x+ \frac{(n+1)(n+2)}{2!}x^2+....+ \frac{(n+k)!}{n!k!}x^{k}+....=\\
= x^0+ {n+1 \choose 1}x^1 + {n+2 \choose 2}x^2+....+ {n+k \choose k}x^k +...=\\
= {n \choose n}x^0 + {n+1 \choose n}x^1+ {n+2 \choose n}x^2+....+ {n+k \choose n}x^k+....=
\sum_{i=0}^{\infty} {n+i \choose n} \cdot x^{i}}\)