Wyznaczenie rekacji w belce

[karolina109]

Witam,
proszę o pomoc przy wyznaczeniu reakcji belki.

[kruszewski]

Tak bez własnego udziału witającej?
Niewiadome w zadaniu to: dwie reakcje podpór przesuwnych, zatem o znanych kierunkach, jedna w przekroju utwierdzenia, też o znanym kierunku i momentu skupionego w przekroju utwierdzenia. Zatem do dwu równań statyki, bo trzecie jest tożsamościowo równe zero, potrzeba dwu równań. Jednym może być równanie kątów obrotu przekrojów a drugie przemieszczeń. Tu przydatny będzie sposób Clebscha.
W przekroju utwierdzenia zarówno kąt jak i ugięcie równe są zero. Choć nad podporami ugięcia te są zerowe, ale kąty już nie i o tym należy pamiętać.
W.Kr.

[SlotaWoj]

Uzupełnię podpowiedź Kruszewskiego:
Kierunek reakcji w utwierdzeniu jest znany, ale tylko w przypadku tego zadania. W ogólności kierunek ten najczęściej bywa nieznany.

[karolina109]

Ok rówanie \(\displaystyle{ F_{Ix}=0}\), dało mi \(\displaystyle{ R_{ax}=0}\),
Pozniej równanie \(\displaystyle{ F_{Iy}=0}\)
i \(\displaystyle{ M_{Ia}=0}\)
ale jak to dalej ruszyc?

[kruszewski]

1. Napisać równania równowago statycznej, owe sumy rzutów sił na osie i sumę momentów obu skupionych, reakcji i momentu siły zadanej oraz momentu utwierdzania względem zmyślnie obranego bieguna (tu najlepszym wyborem jest biegun w przekroju utwierdzenia). Czyli owe:
\(\displaystyle{ \Sigma F_i_x=0; \ \Sigma F_i_y =0; \ \Sigma M_i_O=0}\)
2. Napisać równanie różniczkowe ugiętej belki, owe \(\displaystyle{ y''= - \frac{M}{EJ}}\), które po pierwszym całkowaniu będzie równaniem kąta obrotu przekrojów wzdłuż osi belki, a po drugim równaniem strzałki ugięcia osi belki wzdłuż belki. Wtedy zauważyć, że w przekroju utwierdzenia kąt obrotu i strzałka ugięcia są równe zero. Stąd będą dwa ,dodatkowe do statycznych,równania pozwalające już rozwiązać zadanie.
W.Kr.

[karolina109]

A ztwierdzenia twierdzenie Menabrea-Castigliano? Bo metodz Clebscha nie kojarze :/

[kruszewski]

Można, tyle tylko, że trzeba będzie napisać dwa takie równania.
Ale równanie \(\displaystyle{ y''= - \frac{M}{RJ}}\) można też rozwiązać całkując "klasycznie".

[karolina109]

Kurcze nie wiem

[kruszewski]

Czego Pani nie wie? tego, że równanie: \(\displaystyle{ \frac{\partial L}{ \partial R_1} =0}\) daje po rozwiązaniu \(\displaystyle{ R_1}\) , a nie jeszcze inne reakcje? To wynika z twierdzenia, że pochodna cząstkowa energii ... po wielkości (jednej) hiperstatycznej .... równa jest zero. Podobnie po drugiej i kolejnej. Ale wtedy równania te dla każdej innej wielkości hiperstatycznej mają różniące się (inne) postaci.

[karolina109]

Pomoze ktoś, nie wiem jak to rozpisać

[kruszewski]

Wg którego równania, jaką metodą, chce Koleżanka rozwiązywać to zadanie?

[karolina109]

Metodą Clebscha jednak ale czy dam rady wyznaczyc 4 niewiadome? Raxy, Ma, Rb, Rc??

-- 9 paź 2016, o 09:39 --

1. Reakcje z równań statyki
\(\displaystyle{ Fix=0, Rax=0}\)

\(\displaystyle{ Fiy=0, Ray-3P+Rb+Rc=0 =>Ray=-Rb-Rc+3P}\)

\(\displaystyle{ Mia=0, Ma+9Pl-5RBl-M1 +m2 -6RCl=0}\)

\(\displaystyle{ Ma+9Pl-5Rbl-2Pl+Pl-6RCl=0}\)

\(\displaystyle{ Ma+8Pl-5Rbl-6Rcl=0}\)
\(\displaystyle{ 6Rcl=Ma+8Pl-5Rbl/:6}\)
\(\displaystyle{ Rcl=\frac{Ma}{6}+ \frac{4Pl}{3}- \frac{5Rbl}{6}/:l}\)
\(\displaystyle{ Rc=\frac{Ma}{6l}+ \frac{4P}{3}- \frac{5Rb}{6}}\)
\(\displaystyle{ z FIy Ray=-Rb-\frac{Ma}{6l}+ \frac{4P}{3}- \frac{5Rb}{6}+3P}\)
\(\displaystyle{ Ray=\frac{Ma}{6l}- \frac{11Rb}{6}+ \frac{13P}{3}}\)-- 9 paź 2016, o 09:45 --2. Momenty gnące
\(\displaystyle{ 0 \le x1 \le 3l}\)
\(\displaystyle{ M(x1)=Ray \cdot x_{1}+Ma}\)
\(\displaystyle{ 3l \le x2 \le 5l}\)
\(\displaystyle{ M(x2)=Ray \cdot x_{2} +Ma-3P( x_{2}-3l)}\)
\(\displaystyle{ 5l \le x3 \le 6l}\)
\(\displaystyle{ M(x3)=Ray \cdot x_{3} +Ma-3P( x_{3}-3l)+Rb(x_{3}-5l)-M_{1}}\)


Ale jak to ruszyć dalej pomysłu brak

[kruszewski]

Jeżeli początek osi argumentu (osi \(\displaystyle{ x}\)) umieścić w punkcie \(\displaystyle{ A}\), w przekroju utwierdzenia i odmierzać argument w prawo od \(\displaystyle{ A}\), oraz przypisując momenty skupione \(\displaystyle{ M_B}\) do przedziału II, i \(\displaystyle{ M _C}\) do przedziału III to równanie będzie mieć postać:
\(\displaystyle{ -EJ \frac{d^2y}{dx^2} = M _A \cdot x^0 + R_A \cdot x- 3P(x-3l)-M_B \cdot (5l-x)^0+R_B \cdot (x-5l)+M _C(6l-x)^0}\)
\(\displaystyle{ -EJ\frac{dy}{dx}=C_1+ \frac{1}{0+1} M_A \cdot x^1 + \frac{1}{2}R_A x^2 - \frac{3}{2}P(x-3l)^2 - \frac{1}{0+1} M_B \cdot (5l-x)^1+ \frac{1}{2} \cdot R_B \cdot (x-5l)^2 + \frac{1}{0+1} M_C \cdot (6l-x)^1}\).
Podobnie, po drugim przecałkowaniu otrzymuje się równanie :
\(\displaystyle{ -EJy=C_1 \cdot x+D+ (......)}\)
Stałe całkowania \(\displaystyle{ C \ i \ D}\) otrzymuje się z przyrównania np.
\(\displaystyle{ -EJy=0 \rightarrow c=0, \ x=5 l, \ x=6 l}\)
Ale też: \(\displaystyle{ EJ \frac{dy}{dx}=EJy' = 0}\)
kiedy w równaniu
\(\displaystyle{ -EJ\frac{dy}{dx}=M_A \cdot x + \frac{1}{2}R_A x^2 - \frac{3}{2}P(x-3l)^2 - M_B \cdot (5l-x)+ \frac{1}{2} \cdot R_B \cdot (x-5l)^2 + M_C \cdot (6l-x)+C}\)

podstawić:
\(\displaystyle{ x=0}\) ,
w przekroju utwierdzenia nie zachodzi obrót przekroju belki.

Mam nadzieję, że poprawnie zapisałem i przecałkowałem równania.
W.Kr.

[karolina109]

Czy w \(\displaystyle{ E_j}\) wartosci nie powinny być z przeciwnym znakiem? A także skąd przy \(\displaystyle{ M_B}\) jest \(\displaystyle{ x-3l}\)?

[kruszewski]

Powinny, przepraszam, poleciało z rozmachu, choć jest to kwestia pewnej konwencji.
Poprawiłem.