Każdy kto choć trochę interesował się Hipotezą Riemanna, zapewne zetknął się także z konceptem o nazwie "spirala Ulama". Stanisław Ulam był polskim matematykiem, który pewnego razu zaczął zapisywać liczby kolejno kratka po kratce, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara:
Potem na swojej spirali zaznaczył wszystkie liczby pierwsze, i doszedł do wniosku, że liczby pierwsze występują gęściej po ukosach tej spirali. Większa spirala Ulama:
[Niedziałający link]
Pomogło to w lepszym zrozumieniu faktu, że liczby pierwsze nie są losowo generowane, ale rządzi nimi jakaś prawidłowość, która do dzisiaj jest niepoznana - związana z Hipotezą Riemanna.
---------------------------------------------------------------------------------
Tyle tytułem wstępu. Przechodząc do rzeczy.
Sam zacząłem bawić się spiralą Ulama. Napisałem jedną w zeszycie i zaobserwowałem na niej kolejny ciekawy fakt, dotyczący liczb pierwszych. Otóż (jeśli narysujemy prawidłową spiralę Ulama), po prawej, dolnej skośnej linii spiral występują liczby, z których możemy wyciągnąć pierwiastek drugiego stopnia, kolejno - 9, 25, 49, 81, 121.
To co zaobserwowałem, to fakt, że na pierścieniu, na którym leży liczba 9 występują cztery 4 liczby pierwsze. Idąc dalej, na pierścieniu gdzie leży liczba 25, występuje 5 liczb pierwszych, na pierścieniu z liczbą 49, sześć liczb pierwszych.
I tak możemy w nieskończoność. Co kolejny pierścień, ilość liczb pierwszych która na nim występuję zwiększa się o jeden. Nie wiem, jak to się ma do Hipotezy Riemanna i samych liczb pierwszych, ale ciekawy fakt
Analiza "spirali Ulama" (Hipoteza Riemanna)
-
VanQuatro
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 15 lis 2014, o 23:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jelcz-Laskowice
Analiza "spirali Ulama" (Hipoteza Riemanna)
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2015, o 23:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12680
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Analiza "spirali Ulama" (Hipoteza Riemanna)
Gdyby ubrać to w język matematyczny, to stwierdzenie wyglądałoby następująco:
Pomiędzy \(\displaystyle{ (2n-1)^2+1}\) a \(\displaystyle{ (2n+1)^2}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ n+3}\) liczb pierwszych.
\(\displaystyle{ n=1}\) daje przedział \(\displaystyle{ [1,9]}\), w którym mamy \(\displaystyle{ 4}\) liczby pierwsze. Zgadza się.
\(\displaystyle{ n=2}\) to przedział \(\displaystyle{ [10,25]}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) liczb pierwszych. Również się zgadza.
\(\displaystyle{ n=3}\) to \(\displaystyle{ [26,49]}\) i \(\displaystyle{ 6}\) liczb pierwszych. Ok.
Itd.
Tymczasem dla \(\displaystyle{ n=21}\) mamy przedział \(\displaystyle{ [1682,1849]}\) i powinny być \(\displaystyle{ 24}\) liczby pierwsze, a jest ich mniej, bo \(\displaystyle{ 20}\):
Źródło:
Niestety, ale fakt, choć może zdumiewający, bo działający dla kilku początkowych liczb, jest fałszywy w ogólnosci.
Pomiędzy \(\displaystyle{ (2n-1)^2+1}\) a \(\displaystyle{ (2n+1)^2}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ n+3}\) liczb pierwszych.
\(\displaystyle{ n=1}\) daje przedział \(\displaystyle{ [1,9]}\), w którym mamy \(\displaystyle{ 4}\) liczby pierwsze. Zgadza się.
\(\displaystyle{ n=2}\) to przedział \(\displaystyle{ [10,25]}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) liczb pierwszych. Również się zgadza.
\(\displaystyle{ n=3}\) to \(\displaystyle{ [26,49]}\) i \(\displaystyle{ 6}\) liczb pierwszych. Ok.
Itd.
Tymczasem dla \(\displaystyle{ n=21}\) mamy przedział \(\displaystyle{ [1682,1849]}\) i powinny być \(\displaystyle{ 24}\) liczby pierwsze, a jest ich mniej, bo \(\displaystyle{ 20}\):
Kod: Zaznacz cały
1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733
1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811
1823 1831 1847Kod: Zaznacz cały
http://www.primos.mat.br/primeiros_10000_primos.txtNiestety, ale fakt, choć może zdumiewający, bo działający dla kilku początkowych liczb, jest fałszywy w ogólnosci.
Analiza "spirali Ulama" (Hipoteza Riemanna)
Chyba dla mnie jest jasny fenomen spirali Ulama. Oto spirala złożona z liczb nieparzystych, nie dzielących się przez 3,5,7,11.
Jest idealna
oraz wycinek tej samej spirali w powiększeniu z zaznaczonymi liczbami pierwszymi na zielono.
- AU
- fce8j.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 1230 razy
oraz wycinek tej samej spirali w powiększeniu z zaznaczonymi liczbami pierwszymi na zielono.
- AU
- 121381y.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 1230 razy
Analiza "spirali Ulama" (Hipoteza Riemanna)
No możliwe że się słabo postarałem. Tutaj jest linkarek1357 pisze:Ciemność widzę!
do większej takiej spirali gdzie widzimy całe te przekątne na których występują "szalenie często" liczby pierwsze. Jak dobrze się przyjrzeć, to cała ta spirala jest złożona z tych przekątnych. Dlatego ciężko by było żeby liczby pierwsze gęsto się na nich nie grupowały.
-
Straznik Teksasu
- Użytkownik
- Posty: 426
- Rejestracja: 29 paź 2015, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 90 razy
-
arek1357
Analiza "spirali Ulama" (Hipoteza Riemanna)
Według mnie jest to chaos deterministyczny
Fraktal jakiś tam sobie jest i już!
Moja babcie robiła podobne serwetki zresztą bardzo ładne.
Fraktal jakiś tam sobie jest i już!
Moja babcie robiła podobne serwetki zresztą bardzo ładne.
-
majorponury
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 3 kwie 2016, o 09:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Analiza "spirali Ulama" (Hipoteza Riemanna)
Cześć wszystkim, to mój pierwszy post.
Większe liczby pierwsze kończą się zawsze cyframi 1, 3, 7, 9 (parzyste cyfry odpadają a końcówka 0 lub 5 oznacza podzielność przez 5).
Zauważyłem że ostatnie cyfry w dowolnej przekątnej Spirali Ulama układają się w cykl, który dodatkowo zawsze jest 5-literowym palindromem, np:
973799737997379 - palindrom 97379
317133171331713 - palindrom 31713
195911959119591 - palindrom 19591
751577515775157 - palindrom 75157
Dodatkowo każda przekątna składa się w całości albo tylko z liczb parzystych, albo tylko z liczb nieparzystych.
Co ciekawe, jeżeli na którejś przekątnej widoczne jest nagromadzenie liczb pierwszych to palindrom tej przekątnej składa się głównie z tych cyfr które są możliwe jako jedności liczb pierwszych, np. palindromy 97379 oraz 31713 składają się jedynie z takich cyfr. Istnieją również przekątne palindromu 19591 w której występuje cyfra 5, ale ona również zawiera nagromadzenie liczb pierwszych.
Natomiast żadna przekątna palindromu 75157 nie zawiera nagromadzenia liczb pierwszych - podejrzewam że jest to związane z dużą ilością występujących cyfr 5. W odróżnieniu od palindromu 19591 gdzie cyfra 5 występuje jedynie raz (ponieważ jest środkową cyfrą) a pozostałe cyfry mogą być jednościami liczb pierwszych, to palindrom 75157 zawiera aż dwie cyfry 5, tak więc intuicja podpowiada że nagromadzenie liczb pierwszych występuje na tych przekątnych, na których statystycznie jest więcej cyfr które mogą być jednościami liczby pierwszej. Jeżeli 5-literowy palindrom przekątnej zawiera mniej niż 4 cyfry możliwe jako jedności liczb pierwszych to ta przekątna nie zawiera nagromadzenie liczb pierwszych.
Niestety obserwacja jest jednostronna, ponieważ istnieją przekątne palindromu złożonego jedynie z "dobrych" cyfr, ale nie zawierają one nagromadzenia liczb pierwszych. Dlatego mam podejrzenie, że to co tak naprawdę widzimy na Spirali Ulama to jest przypadek nie wynikający z jakiejś tajemniczej właściwości liczb pierwszych, a jedynie z formy prezentacji - to jest bardziej pradopodobne że więcej liczb pierwszych pojawi się na tych przekątnych których jedności odpowiadają jednościom liczb pierwszych. Chyba że ktoś potrafi wykazać, dlaczego niektóre palindromy są "lepsze" od innych.
Większe liczby pierwsze kończą się zawsze cyframi 1, 3, 7, 9 (parzyste cyfry odpadają a końcówka 0 lub 5 oznacza podzielność przez 5).
Zauważyłem że ostatnie cyfry w dowolnej przekątnej Spirali Ulama układają się w cykl, który dodatkowo zawsze jest 5-literowym palindromem, np:
973799737997379 - palindrom 97379
317133171331713 - palindrom 31713
195911959119591 - palindrom 19591
751577515775157 - palindrom 75157
Dodatkowo każda przekątna składa się w całości albo tylko z liczb parzystych, albo tylko z liczb nieparzystych.
Co ciekawe, jeżeli na którejś przekątnej widoczne jest nagromadzenie liczb pierwszych to palindrom tej przekątnej składa się głównie z tych cyfr które są możliwe jako jedności liczb pierwszych, np. palindromy 97379 oraz 31713 składają się jedynie z takich cyfr. Istnieją również przekątne palindromu 19591 w której występuje cyfra 5, ale ona również zawiera nagromadzenie liczb pierwszych.
Natomiast żadna przekątna palindromu 75157 nie zawiera nagromadzenia liczb pierwszych - podejrzewam że jest to związane z dużą ilością występujących cyfr 5. W odróżnieniu od palindromu 19591 gdzie cyfra 5 występuje jedynie raz (ponieważ jest środkową cyfrą) a pozostałe cyfry mogą być jednościami liczb pierwszych, to palindrom 75157 zawiera aż dwie cyfry 5, tak więc intuicja podpowiada że nagromadzenie liczb pierwszych występuje na tych przekątnych, na których statystycznie jest więcej cyfr które mogą być jednościami liczby pierwszej. Jeżeli 5-literowy palindrom przekątnej zawiera mniej niż 4 cyfry możliwe jako jedności liczb pierwszych to ta przekątna nie zawiera nagromadzenie liczb pierwszych.
Niestety obserwacja jest jednostronna, ponieważ istnieją przekątne palindromu złożonego jedynie z "dobrych" cyfr, ale nie zawierają one nagromadzenia liczb pierwszych. Dlatego mam podejrzenie, że to co tak naprawdę widzimy na Spirali Ulama to jest przypadek nie wynikający z jakiejś tajemniczej właściwości liczb pierwszych, a jedynie z formy prezentacji - to jest bardziej pradopodobne że więcej liczb pierwszych pojawi się na tych przekątnych których jedności odpowiadają jednościom liczb pierwszych. Chyba że ktoś potrafi wykazać, dlaczego niektóre palindromy są "lepsze" od innych.
Analiza "spirali Ulama" (Hipoteza Riemanna)
Drodzy miłośnicy matematyki. Daliśmy się wszyscy złapać w pułapkę naszych zmysłów. Wystarczy spojrzeć na spiralę Ulama żeby stwierdzić że nie wnosi ona kompletnie żadnej nowej wiedzy na temat liczb pierwszych. Każdy kto próbuje doszukać się tu jakiejś prawidłowości będzie miał ten sam problem gdyby szukał tejże na prostej osi zamiast spirali.
A teraz w kwestii wyjaśnień. Otóż jak wiadomo wszystkie liczby pierwsze z wyjątkiem liczby 2 są nieparzyste. Gdybyśmy na moment przyjęli że dwa nie jest liczbą pierwszą i nie zakreślamy tej dwójki na spirali. Teraz przyjrzyjmy się samej spirali. Otóż od razu widać że mamy dwa wzory przekątnych - jeden łączy ze sobą wszystkie liczby parzyste. Drugi - wszystkie nieparzyste. Nic więc dziwnego że liczby pierwsze układają się diagonalnie bowiem są nieparzyste (pomijając liczbę 2). Zatem cóż nam mówi spirala? Nic nowego. Rozkład liczb pierwszych wciąż jest nieregularny tak samo jak ma to miejsce w przypadku analizy tych liczb na prostej osi. Nie ma żadnej reguły która by nimi rządziła, przynajmniej na to wygląda. Jeżeli jest w ogóle jakaś prawidłowość to raczej należało by jej szukać w naturze tych liczb, albo opisać matematycznie sito Erastostenesa.
Pozdrawiam wszystkich poszukiwaczy
A teraz w kwestii wyjaśnień. Otóż jak wiadomo wszystkie liczby pierwsze z wyjątkiem liczby 2 są nieparzyste. Gdybyśmy na moment przyjęli że dwa nie jest liczbą pierwszą i nie zakreślamy tej dwójki na spirali. Teraz przyjrzyjmy się samej spirali. Otóż od razu widać że mamy dwa wzory przekątnych - jeden łączy ze sobą wszystkie liczby parzyste. Drugi - wszystkie nieparzyste. Nic więc dziwnego że liczby pierwsze układają się diagonalnie bowiem są nieparzyste (pomijając liczbę 2). Zatem cóż nam mówi spirala? Nic nowego. Rozkład liczb pierwszych wciąż jest nieregularny tak samo jak ma to miejsce w przypadku analizy tych liczb na prostej osi. Nie ma żadnej reguły która by nimi rządziła, przynajmniej na to wygląda. Jeżeli jest w ogóle jakaś prawidłowość to raczej należało by jej szukać w naturze tych liczb, albo opisać matematycznie sito Erastostenesa.
Pozdrawiam wszystkich poszukiwaczy
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12680
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Analiza "spirali Ulama" (Hipoteza Riemanna)
Spirala Ulama faktycznie może coś wnieść. Chodzi o częstość liczb pierwszych wśród ciągów, których ogólne wzory dane są wielomianami stopnia drugiego, dla spirali jest to \(\displaystyle{ a_n=4n^2+an+b}\).
W ogólności problem ten jest znany pod nazwą hipotezy F. Gdyby ta hipoteza była prawdziwa, wtedy na przykład pewne przekątne w spirali Ulama generowałyby liczby pierwsze blisko siedem razy częściej niż losowe liczby naturalne (prawdopodobieństwo w sensie gęstości asymptotycznej gęstości podzbiorów liczb naturalnych). Jest to więc pewna informacja, z punktu widzenia rozmieszczenia liczb pierwszych istotna. No bo dlaczego nagle liczb pierwszych wśród liczb postaci \(\displaystyle{ 4n^2-2n+41}\) ma być więcej niż wśród wszystkich liczb naturalnych?
W ogólności problem ten jest znany pod nazwą hipotezy F. Gdyby ta hipoteza była prawdziwa, wtedy na przykład pewne przekątne w spirali Ulama generowałyby liczby pierwsze blisko siedem razy częściej niż losowe liczby naturalne (prawdopodobieństwo w sensie gęstości asymptotycznej gęstości podzbiorów liczb naturalnych). Jest to więc pewna informacja, z punktu widzenia rozmieszczenia liczb pierwszych istotna. No bo dlaczego nagle liczb pierwszych wśród liczb postaci \(\displaystyle{ 4n^2-2n+41}\) ma być więcej niż wśród wszystkich liczb naturalnych?
Analiza "spirali Ulama" (Hipoteza Riemanna)
Witam,
jestem nowy na forum.
Mam pytanie w związku generacją samej spirali (bez zaznaczania na niej liczb pierwszych).
Próbuję napisać program.
Wybieram sobie układ współrzędnych z początkiem w środku okna i rozpoczynam generację punktów.
Będą to punkty siatki - przykładowo \(\displaystyle{ (0,0), (0,-1), (1,-1)}\), itd. to znaczy skala będzie co \(\displaystyle{ 1}\) w pionie i w poziomie (jak na kartce papieru w kratkę).
I teraz moje pytanie: czy zna ktoś wzór, który opisuje konwersję punktu z "i" na współrzędne punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\)? Przykładowo \(\displaystyle{ 123}\) - jakie współrzędne będą jej odpowiadać? \(\displaystyle{ (23,4)}\), czy \(\displaystyle{ (3,12)}\) - to tylko przykłady.
Lub w odwrotną stronę - tzn. mając współrzędne \(\displaystyle{ (x,y)}\) przekonwertować go na liczbę "i"?
Oczywiście spiralę można rozpoczynać od dowolnej liczby, ale zazwyczaj wybiera się \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\). Poza tym można iść na początku w innym kierunku (góra, dół, lewo, prawo) oraz ustalać inny kierunek "wirowania".
Zdaję sobie sprawę z tego, że nie trzeba mieć koniecznie takiego wzoru, aby wygenerować spiralę, ale gdyby ktoś spotkał się z podobnym problemem, z którym się zmagam, to będę wdzięczny.-- 28 kwi 2017, o 08:08 --Znalazłem chyba odpowiedni materiał i rozwiązanie problemu.
Umieszczam, może komuś się przyda:
... ber-spiral
... d-increasi
jestem nowy na forum.
Mam pytanie w związku generacją samej spirali (bez zaznaczania na niej liczb pierwszych).
Próbuję napisać program.
Wybieram sobie układ współrzędnych z początkiem w środku okna i rozpoczynam generację punktów.
Będą to punkty siatki - przykładowo \(\displaystyle{ (0,0), (0,-1), (1,-1)}\), itd. to znaczy skala będzie co \(\displaystyle{ 1}\) w pionie i w poziomie (jak na kartce papieru w kratkę).
I teraz moje pytanie: czy zna ktoś wzór, który opisuje konwersję punktu z "i" na współrzędne punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\)? Przykładowo \(\displaystyle{ 123}\) - jakie współrzędne będą jej odpowiadać? \(\displaystyle{ (23,4)}\), czy \(\displaystyle{ (3,12)}\) - to tylko przykłady.
Lub w odwrotną stronę - tzn. mając współrzędne \(\displaystyle{ (x,y)}\) przekonwertować go na liczbę "i"?
Oczywiście spiralę można rozpoczynać od dowolnej liczby, ale zazwyczaj wybiera się \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\). Poza tym można iść na początku w innym kierunku (góra, dół, lewo, prawo) oraz ustalać inny kierunek "wirowania".
Zdaję sobie sprawę z tego, że nie trzeba mieć koniecznie takiego wzoru, aby wygenerować spiralę, ale gdyby ktoś spotkał się z podobnym problemem, z którym się zmagam, to będę wdzięczny.-- 28 kwi 2017, o 08:08 --Znalazłem chyba odpowiedni materiał i rozwiązanie problemu.
Umieszczam, może komuś się przyda:
... ber-spiral
... d-increasi
Ostatnio zmieniony 27 kwie 2017, o 13:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.