Obliczania wytrzymałościowe elementów zginających

[dannyczerniak]

Witam, chciałbym prosić was o pomoc w rozwiązaniu zadania na poziomie średniej szkoły technicznej.
Niestety nie mam żadnego dobrego pomysłu na rozwiązanie tego zadania, liczę na waszą pomoc

zad.1

Belkę o przekroju prostokątnym o wymiarach \(\displaystyle{ b/h}\) ułożono końcami na dwóch podporach. Obliczyć naprężenie maksmalne w belce jeśli została ona obciążona symetrycznie dwoma siłami \(\displaystyle{ F=15KN}\) w odległości \(\displaystyle{ a=10cm}\) od podbór oraz wyznaczyć jej przekrój (\(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ h}\)) jeśli \(\displaystyle{ K_g = 50MPa}\).
Stosunek \(\displaystyle{ h:b = 3,5}\) .

Dla przejrzystości, wypiszę dane:

\(\displaystyle{ F= 15KN\\
a = 10cm}\)
\(\displaystyle{ K_g}\) (naprężenie max.) \(\displaystyle{ = 50MPa}\)

szukane:

-\(\displaystyle{ b,h}\) (wymiary belki) / \(\displaystyle{ h:b = 3,5}\)
- naprężenie maksymalne w belce

[kruszewski]

Zauważ proszę ten fakt wynikający z treści zadania, że:
1. "....w belce jeśli została ona obciążona symetrycznie dwoma siłami " . Jeżeli obciążenie jest symetryczne to i odpowiedź na nie jest też symetryczna.
2. Moment gnący zginający tę belkę ma stałą wartość w przedziale między siłami i jest ona największa na całej rozpiętości belki. (Napisz równanie momentu zginającego w przekroju belki odległym od podpory np. lewej o \(\displaystyle{ x \ cm}\) i zauważ tę prawidłowość).
3.Znając największą wartość momentu zginającego i największe naprężenie jakie można wywołać w zginanej belce a prostego wzoru na wskaźnik wytrzymałości \(\displaystyle{ W_x}\) przy zginaniu możemy obliczyć jego najmniejszą wartość. A podstawiają zależność proporcjonalności długości boków wymiary przekroju.
Więcej w podręczniku.
W.Kr.

[siwymech]

Trzeba wiedzieć i nabyć umiejętności z zakresu:
-obl.reakcji belek,
- zginania,
- wskaźnik wytrz. przekroju na zginanie,
- naprężenia zginające-jednostki,
- warunek wytrz. na zginanie .
.........................................................

1. Ustalamy rys.schemat obciążenia
2.Obliczamy reakcje w podporach belki ( warunki równowagi dla układu sił płaskiego równoległego)
\(\displaystyle{ R _{A}=R _{B}=F[N]}\), (1)
3.Określamy maksymalny moment zginający w punktach C i D , gdzie przyłożono obciążenie.
\(\displaystyle{ M _{Cgmax}=R _{A} \cdot a [Nm]}\), \(\displaystyle{ }\),(2) lub;

\(\displaystyle{ M _{Dgmax}=R _{B} \cdot a [Nm]}\)
4. Wskaźnik osiowy wytrzymałości dla przekroju prostokątnego wzgl osi x:
\(\displaystyle{ W _{x}= \frac{b \cdot h ^{2} }{6}}\), (3)
4.1. Z warunków zad.;
\(\displaystyle{ h=3,5b}\), (4)
5. Z warunku wytrz. na zginanie obl. wskaźnik wytrzymałości:
\(\displaystyle{ W _{x}[cm ^{3}] \ge \frac{M _{gmax}[Nm] }{k _{g} [MPa]}}\), (5)
6.Mając wyznaczoną wartość wskaźnika (dla prostokąta)wytrz. przechodzimy do obliczenia najmniejszych wymiarów przekroju \(\displaystyle{ b, h,}\)\(\displaystyle{ }\) wykorzystując równania (3) i ( 4) -mamy tu, dwa równania i możemy wyznaczyć dwie niewiadome.
7. Naprężenia zginające- maksymalne:
\(\displaystyle{ \sigma _{max}[MPa]= \frac{M _{gmax} [Nm]}{W _{x}[cm ^{3}] }}\), (6)

/ Celem ułatwienia obliczeń dobrano stosowne jednostki we wzorach/


Powodzenia

[Dariatunrida]

pomoże ktoś? Obliczyć największą wartość momentu \(\displaystyle{ M}\), jakim możemy obciążyć poniższy wał, wykonany ze stali ST 3 (\(\displaystyle{ G = 8,5 \times 104 MPa}\)). Średnica wału \(\displaystyle{ d = 40\, mm}\), naprężenia dopuszczalne na skręcanie \(\displaystyle{ k_s=70\, MPa}\), a długość \(\displaystyle{ a = 300\, mm}\). Obliczyć także całkowity kąt skręcenia wału.

[siwymech]

Niezbędne wiadomości:
Naprężenia styczne. Warunek wytrzymałości na skręcanie. Pojęcie sztywności wału- kąt skręcenia
.........................................................
1 Obl. momentu \(\displaystyle{ M _{s} }\)
Należy wykorzystać warunek wytrzymałościowy na skręcanie
2.Obl.kąta skręcenia \(\displaystyle{ \phi}\)
Zastosować wzór na kąt skręcenia

Dodano po 2 dniach 17 godzinach 13 minutach 51 sekundach:
Ad.1
a.Określam rzeczywiste naprężenia skręcające wywołane momentem skręcającym \(\displaystyle{ M _{s} }\) w wale o średnicy \(\displaystyle{ d}\)
\(\displaystyle{ \tau _{s}= \frac{M _{s} }{W _{o} } }\), (1)
\(\displaystyle{ W _{o}= \frac{J _{o} }{r}= \frac{ \pi d ^{3} }{16} \approx 0,2d ^{3} }\) , (2) -biegunowy wskaźnik wytrzymałości dla przekroju kołowego o średnicy \(\displaystyle{ d}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ Jo=J _{x} +J _{y} = 2 \cdot \frac{ \pi d ^{4} }{64} }\)- biegunowy moment bezwładności dla koła
Bo \(\displaystyle{ J _{x}=J _{y} = \frac{ \pi d ^{4} }{64} }\)
\(\displaystyle{ r= \frac{d}{2} }\)-promień przekroju kołowego
b. Z warunków zadania naprężenia rzeczywiste \(\displaystyle{ \tau_{s} }\) nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych \(\displaystyle{ k _{s} }\), stąd musi zajść warunek
\(\displaystyle{ \tau _{s} \le k _{s} }\), (3)
Lub z zależności (1) mamy postać warunku wytrz.
\(\displaystyle{ \frac{M _{s} }{W _{o} } \le k _{s} }\), (4),
Z tego warunku (nierówności) znajdujemy poszukiwany dopuszczalny - bezpieczny moment skręcający \(\displaystyle{ M _{s} }\), którym możemy obciążyć wał bez obawy o jego zniszczenie:
\(\displaystyle{ M _{s} \le W _{o} \cdot k _{s} \le 0,2d ^{3} \cdot k _{s} }\), (5)
\(\displaystyle{ k _{s} }\)- przyjęte dopuszczalne naprężenie dla materiału, z którego wykonano wał.