Przestrzenie Banacha

[marlena1795]

Mam pokazać, że przestrzeń jest przestrzenią Banacha. Warunki na normę znam i potrefię je udowodnić. Nie wiem czy dobrze udowadniam warunek Cauchy'ego. Proszę o sprawdzenie a w razie czego wskazanie mi drogi do dobrego rozwiązania

1. Przestrzeń \(\displaystyle{ l^1}\)

Norma w tej przestrzeni: \(\displaystyle{ ||a||= \sum_{j=1}^{ \infty } \left| a_j\right|}\)

Dowód warunku Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \forall_{\epsilon >0} \exists_N \forall_{n,m>N} ||a_n-a_m|| < \epsilon}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ lim||a_n-a_m||=0}\)
\(\displaystyle{ lim||x_n-x_m||=0 \Leftrightarrow |lim \sum_{n=1}^{ \infty }||x_n-x_m| \Rightarrow |lim \sum_{n=1}^{ \infty } x_n|-|lim \sum_{n=1}^{ \infty } x_m|=0}\)
\(\displaystyle{ lim \sum_{n=1}^{ \infty } x_n=lim \sum_{n=1}^{ \infty } x_m \Rightarrow lim \sum_{n=1}^{ \infty }|| x_n-x_m||=0}\)

Przestrzeń \(\displaystyle{ l^ \infty}\)

Norma w tej przestrzeni: \(\displaystyle{ ||a||= sup_j\left| a_j\right|}\)
Dowód warunku Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \forall_{\epsilon >0} \exists_N \forall_{n,m>N} ||a_n-a_m|| < \epsilon}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ ||a_n-a_m||=0 \Leftrightarrow a_n-a_m=0 \Rightarrow a_n=a_m}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } |a_n-a_m|=\lim_{n \to \infty } sup_j|a_n-a_m| \Rightarrow |\lim_{n \to \infty } a_n- \lim_{m \to \infty } a_m|=0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty }a_n=\lim_{m \to \infty }a_m \Leftrightarrow \lim_{n,m \to \infty }||a_n-a_m||=0}\)

[Dualny91]

Nie wygląda to dobrze.
Warunek
\(\displaystyle{ \forall_{\epsilon >0} \exists_N \forall_{n,m>N} ||a_n-a_m|| < \epsilon \Rightarrow lim||a_n-a_m||=0}\)
zdecydowanie nie oznacza zupełności przestrzeni.
Warunek po lewej stronie raczej jest przyjęty jako definicja zbieżności do \(\displaystyle{ 0}\) ciągu \(\displaystyle{ (||a_n-a_m||)_{n,m \in \mathbb{N}}}\) wraz z \(\displaystyle{ n,m \to \infty}\). Próbujesz udowodnić definicję zbieżności takiego ciągu i zapisy 'dowodowe' są bardzo chaotyczne i nieuprawnione.

Sprawdź jeszcze raz co oznacza zupełność przestrzeni metrycznej.