Wyrażenia wymierne/ Uprość wyrażenie....

[Olusiar221]

1. Uprość wyrażenia,a następnie oblicz ich wartość liczbową:
A.

\(\displaystyle{ \frac{x^2-2y^2}{xy}}\)


dla x= \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)+ \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)


y= \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)-\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)


B.


\(\displaystyle{ \frac{3a^2b+3b^2a}{a^2+2ab+b^2}}\)

dla a= -2, b= \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)


2.

Dla jakich wartości a i b zachodzi równość \(\displaystyle{ a^{2}}\)-\(\displaystyle{ b^{2}}\)=\(\displaystyle{ (a-b)^2}\)



3.


Przedstaw w postaci iloczynu wyrażenie \(\displaystyle{ (m^2+4n^2)^2-16m^2n^2}\)

[agulka1987]

A

\(\displaystyle{ = \frac{( \sqrt{6}+ \sqrt{3})^2 - 2( \sqrt{6}- \sqrt{3})^2 }{( \sqrt{6}+ \sqrt{3} )( \sqrt{6}- \sqrt{3} } = \frac{6+2 \sqrt{18}+3 - 12 + 4 \sqrt{18} - 6 }{6-3} = \frac{6 \sqrt{18}-9 }{3} = 2 \sqrt{18}- 3 = 6 \sqrt{2}-3 = 3(2 \sqrt{2}-1)}\)


B

\(\displaystyle{ = \frac{3ab(a+b)}{(a+b)^2} = \frac{3ab}{a+b} = \frac{3 \cdot (-2) \cdot \frac{1}{2} }{-2 + \frac{1}{2} } = \frac{-3}{- \frac{3}{2} } = -3 \cdot (- \frac{2}{3}) = 2}\)


3.

\(\displaystyle{ = m^4+8m^2n^2 + 16n^4 - 16m^2n^2 = m^4-8m^2n^2+16n^4 = (m^2-4n^2)^2 = (m-2n)^2(m+2n)^2}\)

[Mruczek]

2.
Zakładam, że \(\displaystyle{ a,b \in R}\).
\(\displaystyle{ a^{2}- b^{2}=(a-b) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (a+b)(a-b)=(a-b)(a-b)}\), gdy \(\displaystyle{ a \neq b}\) dzielimy obie strony przez \(\displaystyle{ (a-b)}\)
\(\displaystyle{ a+b=a-b}\)
\(\displaystyle{ b=-b}\), więc
\(\displaystyle{ b=0}\), i \(\displaystyle{ a \in R}\)

Gdy \(\displaystyle{ a=b}\), to
\(\displaystyle{ a^{2}- b^{2}=(a-b) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}- a^{2}= (a-a)^{2}}\)
\(\displaystyle{ 0=0}\), czyli \(\displaystyle{ a \in R}\).

[Olusiar221]

To drugie zrobiłam tak,ale nie wiem czy jest dobrze. Wyszedł mi wynik 3. Sprawdzi ktoś czy dobrze i ewentualnie poprawi błedy i wytłumaczy co jest źle.

\(\displaystyle{ \frac{x^2-2y^2}{xy} = \frac{ (\sqrt{6}- \sqrt{3})^2-2( \sqrt{6}- \sqrt{3})^2}{( \sqrt{6}+ \sqrt{3})( \sqrt{6}- \sqrt{3})^2}}\)=\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{36}+ \sqrt{9}-2( \sqrt{36}- \sqrt{9})}{ \sqrt{36}+ \sqrt{9}}}\)=\(\displaystyle{ \frac{6+3+12+6}{9}}\)=\(\displaystyle{ \frac{27}{9}=3}\)-- 9 paź 2009, o 20:21 --sory jest bład powinno wyjść chyba 1

[Mruczek]

Przecież
\(\displaystyle{ \frac{x^2-2y^2}{xy}= \frac{( \sqrt{6}+ \sqrt{3})^2 - 2( \sqrt{6}- \sqrt{3})^2 }{( \sqrt{6}+ \sqrt{3} )( \sqrt{6}- \sqrt{3} } = ...}\)
a nie:
\(\displaystyle{ \frac{x^2-2y^2}{xy} = \frac{ (\sqrt{6}- \sqrt{3})^2-2( \sqrt{6}- \sqrt{3})^2}{( \sqrt{6}+ \sqrt{3})( \sqrt{6}- \sqrt{3})^2}=...}\)