Dowód sumy zbiorów

[gawiellus]

Witam czy prawidłowym jest dowodzenie następującej równości \(\displaystyle{ A \cup A = A}\)

1) \(\displaystyle{ A = X \cap A}\)
2) \(\displaystyle{ (X \cap A) \cup (X \cap A)}\)
3) korzystając z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ X \cap (A \cup A)}\)
4) \(\displaystyle{ ( A \cup \neg A) \cap (A \cup A)}\)
5) korzystając z prawa rozdzielności dodawania względem mnożenia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ A \cup ( \neg A \cap A)}\)
6) \(\displaystyle{ A \cup 0 = A}\)

Proszę też o podanie nazw poszczególnych praw w kolejnych krokach jeśli to możliwe.

[Zaratustra]

Nie ustaliłeś czym jest zbiór \(\displaystyle{ X}\), więc obawiam się że dalszy wywód niewiele mówi.
Czy \(\displaystyle{ \negA}\) ma oznaczać dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ A}\)? Założę, że tak.
\(\displaystyle{ A \cup A = A}\) wynika bezpośrednio z prawa pochłaniania: \(\displaystyle{ x \vee x \Leftrightarrow x}\)(co daje się sprawdzić z definicji sumy logicznej przy użyciu tabelki) i równoważności: \(\displaystyle{ a \in A \cup A \Leftrightarrow a \in A \vee a \in A}\).
Patrząc po \(\displaystyle{ X = (A \cup \neg A)}\), \(\displaystyle{ X}\) miało być przestrzenią? \(\displaystyle{ A \subset X}\)?
Poszczególne przejścia są chyba poprawne, ale niepotrzebne do udowodnienia tezy.

[Elayne]

Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie dowolnym elementem \(\displaystyle{ A \cup A}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \in A}\) lub \(\displaystyle{ x \in A}\) zatem \(\displaystyle{ x \in A}\), a więc \(\displaystyle{ A \cup A \subseteq A}\). I odwrotnie, jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest dowolnym elementem \(\displaystyle{ A}\), wówczas \(\displaystyle{ x \in A \cup A}\) ponieważ należy do \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ A \subseteq A \cup A}\).

[Jan Kraszewski]

Patrząc po \(\displaystyle{ X = (A \cup \neg A)}\)

Nie ma czegoś takiego, jak \(\displaystyle{ \neg A}\), bo \(\displaystyle{ \neg}\) jest symbolem logicznym, a nie mnogościowym.

JK

[Zaratustra]

Patrząc po \(\displaystyle{ X = (A \cup \neg A)}\)

Nie ma czegoś takiego, jak \(\displaystyle{ \neg A}\), bo \(\displaystyle{ \neg}\) jest symbolem logicznym, a nie mnogościowym.
JK

Prawda, ostatnio też już tu gdzieś padł zapis "\(\displaystyle{ A \vee B}\)" - jeszcze trochę i się do tego przyzwyczaję o_O. Ale ja widziałem kiedyś w jakiejś książce zapis \(\displaystyle{ \sim A}\) na oznaczenie dopełnienia zbioru... :-/ Co prawda to nie to samo co \(\displaystyle{ \neg}\) ...

[Jan Kraszewski]

Ale ja widziałem kiedyś w jakiejś książce zapis \(\displaystyle{ \sim A}\) na oznaczenie dopełnienia zbioru... :-/ Co prawda to nie to samo co \(\displaystyle{ \neg}\) ...

Ciekawe, co to za książka...

JK

[gawiellus]

Dziękuję za odpowiedzi
\(\displaystyle{ X}\) - jest przestrzenią
\(\displaystyle{ \neg A}\) - miało byc dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ A.}\) Nie wiem jakiego symbolu tutaj użyc.

Czy jeśli przyjmiemy takie założenia to można powiedziec, ze dowód jest poprawny?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \neg A}\) - miało byc dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ A.}\) Nie wiem jakiego symbolu tutaj użyc.

Dopełnienie to \(\displaystyle{ A^c}\) lub \(\displaystyle{ A'}\).

Czy jeśli przyjmiemy takie założenia to można powiedziec, ze dowód jest poprawny?

Formalnie tak, ale to jest dziwny dowód, bo korzystasz w nim z kilku nietrywialnych praw, by udowodnić bardzo elementarną równość, co nasuwa od razu pytanie o dowód prawdziwości tych praw...

JK

[Zaratustra]

Ciekawe, co to za książka...
JK

Niezbyt dobra? Albo pewnie jakiś skrypt, który krążył pomiędzy ludźmi na roku