Ekstremum warunkowe-Metoda Lagrange'a(parametr)

[KamiLPM]

No to podałem już wszystkie punkty podejrzane o ekstremum, nie mogę znaleźć więcej

[a4karo]

No to teraz musisz rozstrzygnąć co się w nich dzieje.

[KamiLPM]

No to teraz musisz rozstrzygnąć co się w nich dzieje.

wychodzą ekstrema\(\displaystyle{ b ^{2} i a ^{2} a ^{2}}\) ale nie wiem które minimum a które maksimum, może po prostu zaznaczyć że dla a>b funkcja przyjmuję maksimum w \(\displaystyle{ a ^{2}}\) i odwrotnie. Ma to sens czy może inaczej to trzeba rozstrzygnąć, bo raczej hesjamy tutaj nie mają sensu

[a4karo]

Popatrz na to tak

1.jpg (83.54 KiB) Przejrzano 142 razy

Tu masz rysunek z \(\displaystyle{ a=5, b=3}\). Jakie sa wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) na kolorowych kółkach?

[KamiLPM]

Trochę nie rozumiem tego wykresu ta niebieska elipsa nie powinna być wyżej? Żeby przecinała 3? Ale mimo to da się zauważyć że te ekstrema (minimum i maksimum) są zależne od mniejszego a lub b

[a4karo]

Może dokładniej : od mniejszego \(\displaystyle{ a^2}\)...


Tak .trójka powinna być ciut niżej .

Istotne jest to, że funkcja jest stała na kolorowych kołach, a w punktach ekstremalnych te koła są styczne do elipsy. Tak jest zawsze: ekstremum może być tylko tam gdzie poziomice są styczne do ograniczeń.

Teraz zrób przypadek gdy elipsa jest kołem

[KamiLPM]

no jak kołem to \(\displaystyle{ a^2=b^2}\) czyli ekstrema będą dla \(\displaystyle{ f}\) wtedy gdy te koła "najdą" na siebie. Tylko jak to teraz zapisać metodą mnożników Lagrange'a :/

-- 20 wrz 2016, o 00:10 --

Dobra mam tak:
Ogólnie to profesor zabrania nam na korzystanie z hesjanów i podano nam taki wzór:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial^{2}L }{ \partial x \partial x}+2* \frac{ \partial^{2}L }{ \partial x \partial y} + \frac{ \partial^{2}L }{ \partial y \partial y}}\)
na podstawie znaku tego wyrażenia tak samo jak przy metodzie hesjanów określa się czy w punkcie jest minimum czy maksimum

no i tak drugie pochodne to(w kolejności jak we wzorze):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2+ \frac{2*\lambda}{a ^{2} } \\ 0 \\2+ \frac{2*\lambda}{b ^{2} } \end{cases}}\)

Podstawiając wychodzi:
\(\displaystyle{ 2(2 + \frac{\lambda}{a ^{2} } + \frac{\lambda}{b ^{2} })}\)
no i lambda dla punktu \(\displaystyle{ (0,|b|)}\) wyszło mi \(\displaystyle{ -b^{2}}\) i następnie:
\(\displaystyle{ 2(1- \frac{b ^{2} }{ a^{2} })}\) czyli w punkcie \(\displaystyle{ (0,|b|)}\) osiąga maksimum gdy \(\displaystyle{ |b|>|a|}\) i minimum gdy \(\displaystyle{ |b|<|a|}\)
Dla punktu \(\displaystyle{ (|a|,0)}\) lambda jest równa \(\displaystyle{ -a^{2}}\) i następnie:
\(\displaystyle{ 2(1- \frac{a ^{2} }{ b^{2} })}\) czyli w punkcie \(\displaystyle{ (0,|a|)}\) osiąga maksimum gdy \(\displaystyle{ |a|>|b|}\) i minimum gdy \(\displaystyle{ |a|<|b|}\)

Wydaję mi się to rozsądnym rozwiązaniem

[a4karo]

A po co tu pisać cokolwiek?


Dla \(\displaystyle{ a=b}\) masz \(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\), wiec \(\displaystyle{ f}\) jest stała.