\(\displaystyle{ \phi(t,x_0) = x_0 + \int_{0}^{t} f(s,\phi(s,x_0)) ds}\)
gdzie \(\displaystyle{ \phi(t,x_0)}\) jest funkcją: \(\displaystyle{ \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\).Próbuję różniczkować to wyrażenie obustronnie względem \(\displaystyle{ x_{0}}\). Według książki z której to równanie pochodzi wynik powinien być następujący:
\(\displaystyle{ \frac{\partial \phi}{\partial x_0} (t,x_0) = 1 + \int_0^{t} \frac{\partial f}{\partial x_0} (s, \phi(s,x_0)) \cdot \frac{\partial \phi}{\partial x_0} (s, x_0)ds}\).
Nie potrafię pojąć dlaczego akurat tak wygląda to wyrażenie pod całką po zróżniczkowaniu. W książce którą czytam jest napisane, że wynika to z reguły łańcuchowej(ang. chain rule). Ale coś mi tu nie pasuje, bo jak różniczkuje to wyrażenie pod całką to z reguły łańcuchowej wychodzi:\(\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial x_0} f(s, \phi(s,x_0)) = \frac{\partial }{\partial \phi(s,x_0) } f(s, \phi(s,x_0)) \cdot \frac{\partial }{\partial x_0} \phi(s,x_0)}\).
Natomiast w książce jak widać jest ewidentnie dwa razy pochodna względem \(\displaystyle{ x_0}\). Pytanie dlaczego tak? Patrzałem w dwóch wydaniach książki, więc błąd to raczej nie jest.
Możliwe, że potrzebna tutaj jest informacja, że różniczkowana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego:
\(\displaystyle{ \frac{\partial \phi}{\partial t} (t,x_0) = f(t,\phi,x_0))}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi(0,x_0)=x(0).}\)
Byłbym wdzięczny za pomoc w rozjaśnieniu problemu. Pozdrawiam 
