Ekstremum warunkowe-Metoda Lagrange'a(parametr)

[KamiLPM]

Zadanie: Znaleźć ekstrema warunkowe metodą Lagrange'a
\(\displaystyle{ f=x ^{2} +y ^{2}}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ g= \frac{x ^{2} }{a ^{2} } + \frac{y ^{2} }{b ^{2} } -1=0}\)
Doszedłem do tego momentu:
\(\displaystyle{ L=x ^{2} +y ^{2}+ \lambda(\frac{x ^{2} }{a ^{2} } + \frac{y ^{2} }{b ^{2} } -1)\\

\begin{cases} 2x+ \frac{2x\cdot \lambda}{a ^{2}}=0 \\
2y+ \frac{2y\cdot \lambda}{b ^{2}}=0 \\
\frac{x ^{2} }{a ^{2} } + \frac{y ^{2} }{b ^{2} } -1=0

\end{cases}}\)
Z tego wilyczyłem, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lambda=-a ^{2} \\ \lambda=-b ^{2} \end{cases}}\)
czyli \(\displaystyle{ a ^{2} = b ^{2}}\)
Próbowałem to podstawiać ale jedyne co mi wyszło to:
\(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} =a^{2}}\)
No i na tym niestety koniec. Bardzo proszę o pomoc albo chociaż lekkie naprowadzenie na rozwiązanie.

[a4karo]

To, co znalazłeś nie jest rozwiązaniem. \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) są dane, więc nie możesz wyciągać wniosku, że sa równe.

Ukłąd ma inne rozwiązania - poszukaj ich

[KamiLPM]

To, co znalazłeś nie jest rozwiązaniem. \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) są dane, więc nie możesz wyciągać wniosku, że sa równe.

Ukłąd ma inne rozwiązania - poszukaj ich

Podchodziłem do tego zadania kilka razy poświęcając mu kilka godzin. Za każdym razem ten sam etap. a i b nie są dane - są to parametry. Zadanie jest przepisane słowo w słowo zadane przez profesora z mojej uczelni. Potrafię szukać ekstremum warunkowe w funkcjach bez parametru ale tutaj te a i b wszystko mi psuję

[miodzio1988]

Układ ma inne rozwiązania - poszukaj ich

[a4karo]

Wsk: co wynika z faktu, że \(\displaystyle{ 2x\left(1+\frac{\lambda}{a^2}\right)=0}\) ?

[KamiLPM]

Wsk: co wynika z faktu, że \(\displaystyle{ 2x\left(1+\frac{\lambda}{a^2}\right)=0}\) ?

Są dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ \lambda=-(a^{2})}\)
Biorąc x=0 wychodzi punkt \(\displaystyle{ (0,|b|)}\) dla \(\displaystyle{ \lambda=-(b ^{2})}\)
A dla \(\displaystyle{ \lambda=-(a^{2}): punkt (|a|,0)}\)
Czy te rozwiązania się zgadzają?

[a4karo]

Zapomnij o \(\displaystyle{ \lambda}\). Interesują Cię \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Masz jeszcze drugie równanie.

[KamiLPM]

No ok czyli z pierwszego x=0 a z drugiego y=0(zapominająć o \(\displaystyle{ \lambda}\). Ale jak podstawie do trzeciego równania x=0 i y=0 to wyjdzie mi sprzeczne -1=0? :/
Mógłby Pan podać pełne rozwiązanie tego układu równań? Bo czuję, że próbuje za bardzo kombinować w tym zadaniu i chodzę w kółko

[a4karo]

Pierwsze równanie jest spełnione gdy \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ \lambda=-a^2}\). Drugie gdy \(\displaystyle{ y=0}\) lub \(\displaystyle{ \lambda=-b^2}\)

Nie każde z tych par spełniają trzecie równanie. Znajdż te, które sa dobre.

Rozważ jeszcze przypadek \(\displaystyle{ a^2=b^2}\). Jaka wtedy jest odpowiedź?

[KamiLPM]

Pierwsze równanie jest spełnione gdy \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ \lambda=-a^2}\). Drugie gdy \(\displaystyle{ y=0}\) lub \(\displaystyle{ \lambda=-b^2}\)

Nie każde z tych par spełniają trzecie równanie. Znajdż te, które sa dobre.

Rozważ jeszcze przypadek \(\displaystyle{ a^2=b^2}\). Jaka wtedy jest odpowiedź?

Dobre są pary \(\displaystyle{ x=0,\lambda=-b^2}\) i \(\displaystyle{ \lambda=-a^2,y=0}\)
W przypadku \(\displaystyle{ a^2=b^2}\)
\(\displaystyle{ x=-y}\) lub \(\displaystyle{ \lambda=-a^{2}}\)

[a4karo]

Przeciez co powiedziałem, że interesują cię iksy i igreki a nie iksy i lambda.
Do poprawki.-- 19 wrz 2016, o 15:32 --

[KamiLPM]

Przeciez co powiedziałem, że interesują cię iksy i igreki a nie iksy i lambda.
Do poprawki.

Wychodzą mi takie punkty \(\displaystyle{ \left( x,y \right)}\): \(\displaystyle{ \left( 0,|b| \right) , \left( |a|,0 \right) , \left( \frac{|a| \cdot \sqrt{2} }{2},-\frac{|a| \cdot \sqrt{2} }{2} \right)}\)
Dobrze teraz te punkty?

[a4karo]

A skąd ten ostatni?

[KamiLPM]

w przypadku gdy \(\displaystyle{ a^{2} = b^{2}}\)

[a4karo]

Nie. przemyśl sprawę ponownie i systematycznie. Najpierw przypadek \(\displaystyle{ a^2\neq b^2}\)