\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8} = -8^{ \frac{1}{3} } = -( 2^{3} )^{ \frac{1}{3} } = -2}\)
Jestem prawie przekonany, że ten zapis jest dobry, ale chciałbym się upewnić.
Poprawny zapis
-
szw1710
Poprawny zapis
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}}\) to zapis zrozumiały, ale nie do końca poprawny. Pierwiastki arytmetyczne definiujemy dla liczb dodatnich. Gdyby to pominąć, jest OK.
Co ciekawe, \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}}\) jest dobrym zapisem dla pierwiastków zespolonych.
Co ciekawe, \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}}\) jest dobrym zapisem dla pierwiastków zespolonych.
Poprawny zapis
Dziękuję za odpowiedź. Jednakże, podczas edukacji uczono mnie, że nie istnieje minus pod pierwiastkiem. Potem usłyszałem o liczbach zespolonych.szw1710 pisze:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}}\) to zapis zrozumiały, ale nie do końca poprawny. Pierwiastki arytmetyczne definiujemy dla liczb dodatnich. Gdyby to pominąć, jest OK.
Co ciekawe, \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}}\) jest dobrym zapisem dla pierwiastków zespolonych.
Spotkałem się dopiero teraz z takim zadaniem i chciałem sprawdzić, czy zapis jest logiczny.
-
szw1710
Poprawny zapis
Właśnie to mówiłem w kontekście pierwiastków arytmetycznych. Ale i tak jest to zrozumiałe. Możemy się umówić, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}=b\iff a=b^3}\). W tym kontekście \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}=-2}\), bo \(\displaystyle{ (-2)^3=-8}\). Stąd zapis pierwiastka (nieparzystego stopnia) z liczby ujemnej ma jednoznaczny sens i nie trzeba z nim aż tak walczyć. Mowa tu o liczbach rzeczywistych.Dziękuję za odpowiedź. Jednakże, podczas edukacji uczono mnie, że nie istnieje minus pod pierwiastkiem. Potem usłyszałem o liczbach zespolonych.
-
Cytryn
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Poprawny zapis
W moim liceum uczono, że pierwiastki nieparzystego stopnia mają sens także dla ujemnych liczb. Czy nauczyciele matematyki okłamali mnie? Gdzie pojawia się problem z liczbami rzeczywistymi?szw1710 pisze:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}}\) to zapis zrozumiały, ale nie do końca poprawny. Pierwiastki arytmetyczne definiujemy dla liczb dodatnich. Gdyby to pominąć, jest OK.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Poprawny zapis
Nie okłamali Cię. Rzeczywiście mają one sens dla liczb ujemnych, ale należy zachować bardzo dużą ostrożność, bo dla liczb ujemnych nie zachodzą wzory do których przywykliśmy.
Dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) zapis \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}}\) oznacza funkcję, która dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ x^{1/n}}\) a dla ujemnych \(\displaystyle{ x}\) wartość \(\displaystyle{ -|x|^{1/n}}\) (lub, co na jedno wychodzi funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ x\to x^n}\))
Ale nie można już napisac, że dla ujemnych \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}=x^{1/3}}\), bo prowadziło by to do dziwnych skutków. N.p.
\(\displaystyle{ -1=\sqrt[3]{-1}\red=?\black (-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}=\left[(-1)^2\right]^{1/6}=1}\)
Prawa działań na wykładnikach maja sens dla dodatnich podstaw.
Dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) zapis \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}}\) oznacza funkcję, która dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ x^{1/n}}\) a dla ujemnych \(\displaystyle{ x}\) wartość \(\displaystyle{ -|x|^{1/n}}\) (lub, co na jedno wychodzi funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ x\to x^n}\))
Ale nie można już napisac, że dla ujemnych \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}=x^{1/3}}\), bo prowadziło by to do dziwnych skutków. N.p.
\(\displaystyle{ -1=\sqrt[3]{-1}\red=?\black (-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}=\left[(-1)^2\right]^{1/6}=1}\)
Prawa działań na wykładnikach maja sens dla dodatnich podstaw.