Zmienna losowa mierzalna na rozbiciu

[Manolin]

Witam
Bardzo bym prosił o jakieś uzasadnienie lub udowodnienie poniższego stwierdzenia

Niech \(\displaystyle{ \{{A_{i}}\}_{i\in I}}\) będzie rodziną parami rozłącznych zbiorów, które pokrywają \(\displaystyle{ \Omega}\).
Niech \(\displaystyle{ A=\sigma(\{A_{i}\}_{i\in{I}})}\). Zmienna losowa \(\displaystyle{ Y:\Omega\to {R}}\) jest mierzalna względem \(\displaystyle{ A}\), wtedy i tylko wtedy gdy, zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) jest stała na zbiorze \(\displaystyle{ A_{i}}\), dla każdego \(\displaystyle{ i\in{I}}\).

[Dualny91]

Konieczność:
Przypuśćmy że dla pewnego \(\displaystyle{ i \in I}\) mamy \(\displaystyle{ a,b \in Y[A_i]}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a<b.}\)
Rozważmy przeciwobraz \(\displaystyle{ Y^{-1}[[a,b)]}\). Oczywiście \(\displaystyle{ Y^{-1}[[a,b)] \cap A_i \neq \emptyset \neq Y^{-1}[[a,b)] \setminus A_i}\). Każdy zbiór mierzalny względem tak skonstruowanego sigma-ciała jest albo rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A_i}\), albo jest rozłączny z jego dopełnieniem (sprawdź to), a tego warunku nie spełnia zbiór \(\displaystyle{ Y^{-1}[[a,b)]}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ Y}\) nie jest mierzalna, sprzeczność.

Dostateczność spróbuj sam.

[Dasio11]

Oczywiście \(\displaystyle{ Y^{-1}[[a,b)] \cap A_i \neq \emptyset \neq Y^{-1}[[a,b)] \setminus A_i}\). Każdy zbiór mierzalny względem tak skonstruowanego sigma-ciała jest albo rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A_i}\), albo jest rozłączny z jego dopełnieniem

Chciałeś chyba napisać:

\(\displaystyle{ \bullet \, Y^{-1}[[a,b)] \cap A_i \neq \emptyset \neq A_i \setminus Y^{-1}[[a,b)]}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) każdy zbiór mierzalny jest rozłączny z \(\displaystyle{ A_i}\) albo zawiera \(\displaystyle{ A_i}\) w całości (tj. jego dopełnienie jest rozłączne z \(\displaystyle{ A_i}\)).

[Dualny91]

Oczywiście \(\displaystyle{ Y^{-1}[[a,b)] \cap A_i \neq \emptyset \neq Y^{-1}[[a,b)] \setminus A_i}\). Każdy zbiór mierzalny względem tak skonstruowanego sigma-ciała jest albo rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A_i}\), albo jest rozłączny z jego dopełnieniem

Chciałeś chyba napisać:

\(\displaystyle{ \bullet \, Y^{-1}[[a,b)] \cap A_i \neq \emptyset \neq A_i \setminus Y^{-1}[[a,b)]}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) każdy zbiór mierzalny jest rozłączny z \(\displaystyle{ A_i}\) albo zawiera \(\displaystyle{ A_i}\) w całości (tj. jego dopełnienie jest rozłączne z \(\displaystyle{ A_i}\)).

Tak, o to mi chodziło