Silnie i funkcje trygonometryczne w granicach ciągów

[hubot]

Cześć. Mógłby ktoś mi podpowiedzieć jak się liczy granice typu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}}\)? Co zrobić z silnią, która jest pod znakiem lim i co się robi z ciągami, które mają w sobie takie wyrażenia \(\displaystyle{ n^n}\), \(\displaystyle{ n^{\sin n}}\), \(\displaystyle{ \sin(n)}\), \(\displaystyle{ \sin(n^n)}\) czy \(\displaystyle{ \sin(n!)}\), gdzie n dąży do nieskończoności? Jak obliczyć granicę typu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (\sin n!) \frac{n}{n^2+1}+\frac{2n}{3n+1}\cdot\frac{n}{1-3n}}\)?

[Benny01]

Jeśli mamy granicę typu \(\displaystyle{ a_n \cdot b_n}\), gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) jest ograniczony, a \(\displaystyle{ b_n}\) zbiega to zera to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n \cdot b_n =0}\)

[a4karo]

Granicę wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n}}\) można policzyć na przykład tak.

\(\displaystyle{ \frac{1\cdot 2\cdot\ldots \cdot\lfloor n/2\rfloor \ldots \cdot (n-1)\cdot n}{n\cdot n\cdot \ldots\cdot n\cdot\ldots\cdot n \cdot n}< \frac{1}{2}^{\lfloor n/2\rfloor}\to 0}\)


Wyrażeniami typu \(\displaystyle{ \sin(n!)}\) nie za bardzo musisz sią przejmować, bo są one ograniczone i najczęściej występuja w wyrażeniach typu \(\displaystyle{ a_n\sin(n!)}\) , gdzie \(\displaystyle{ a_n\to 0}\)

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ n! < n^{n-1}}\) od pewnego \(\displaystyle{ n}\)

[hubot]

Granicę wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n}}\) można policzyć na przykład tak.

\(\displaystyle{ \frac{1\cdot 2\cdot\ldots \cdot\lfloor n/2\rfloor \ldots \cdot (n-1)\cdot n}{n\cdot n\cdot \ldots\cdot n\cdot\ldots\cdot n \cdot n}< \frac{1}{2}^{\lfloor n/2\rfloor}\to 0}\)


Wyrażeniami typu \(\displaystyle{ \sin(n!)}\) nie za bardzo musisz sią przejmować, bo są one ograniczone i najczęściej występuja w wyrażeniach typu \(\displaystyle{ a_n\sin(n!)}\) , gdzie \(\displaystyle{ a_n\to 0}\)

Czy możesz mi wytłumaczyć skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{1}{2}^{\lfloor n/2\rfloor}\to 0}\) Jak doszedłeś do wniosku że to jest większe od tamtego równania z rozłożoną silnią i rozłoźonym \(\displaystyle{ n^n}\)? Chyba to, że granica z \(\displaystyle{ \frac{1}{2}^{n/2}}\) równa się zero to nie znaczy, że tamto też jest równe zero. Chyba, że mówimy tutaj o twierdzeniu o trzech ciągach ale teraz pytanie, gdzie jest ten pierwszy ciąg, od którego ciąg \(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n}}\) miałby być większy lub równy jemu.

Kacperdev, skąd taki wniosek?

[Premislav]

Kacperdev, skąd taki wniosek?

Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2 < n\\ 3 < n\\\dots \\n-1<n\\n \le n}\)

Mnożąc te nierówności stronami, dostajemy
\(\displaystyle{ 2\cdot 3 \cdot \dots (n-1) \cdot n< n^{n-1}}\),
czyli \(\displaystyle{ n! <n^{n-1}}\)

[Kacperdev]

lub indukcja.

[a4karo]

Każdy z czynników \(\displaystyle{ \frac{k}{n}}\) jest nie większy od \(\displaystyle{ 1/2}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,\lfloor n/2\rfloor}\) i nie wiekszy od \(\displaystyle{ 1}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ k}\), więc iloczyn nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\dots\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}^{\lfloor n/2\rfloor}}\)


A ograniczenie z lewej strony powinieneś sam umieć wymysleć

[Janusz Tracz]

o szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{n^n}}\) można powiedzieć że jest zbieżny bo spełnia np. kryterium d'Alamberta.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left| \frac{ \frac{ \left( n+1 \right) !}{ \left( n+1 \right) ^{n+1}} }{ \frac{n!}{n^n} } \right|= \frac{1}{e}<1}\)

więc warunek konieczny też jest spełniony.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{n^n}=0}\)

albo można od razu zastąpić silnie oszacowaniem asymptotycznym \(\displaystyle{ n!\sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^n}\)

i policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt{2 \pi n}n^n }{e^n \cdot n^n}=0}\)