Ostatnia cyfra rozwinięcia dziesiętnego

[pg2464]

Witam, mógłby ktoś pomóc mi w rozwiązaniu tego zadania

Ile wynosi ostatnia cyfra rozwinięcia liczby \(\displaystyle{ 2 ^{1000000}}\) przy podstawie 7 ?

Znalazłem rozwiązania gdzie patrzy się na reszty z dzielenia, ale chciałyby wiedzieć jak to rozwiązać za pomocą tw. Fermata. Z góry dzięki

[M Maciejewski]

Mój pomysł jest taki: Z tw. Fermata mamy: \(\displaystyle{ 2^6\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 7)}\), a zatem
\(\displaystyle{ (2^6)^k\equiv 1^k\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 7)}\) dla każdego \(\displaystyle{ k\in\mathbb N}\).

[pg2464]

czyli możemy zrobić coś takiego ?

\(\displaystyle{ 2 ^{1000000}=( 2^{6}) ^{166666} \cdot 2 ^{4}\equiv1 \cdot2 ^{4}\pmod{7}\equiv2\pmod{7}}\)

[M Maciejewski]

Tak.

[proudPolak]

Odgrzewam temat, ponieważ nigdzie nie mogę znaleźć na to odpowiedzi. Co oznacza liczba \(\displaystyle{ 2^{1000000}}\) przy podstawie 7? O jaką podstawę tu chodzi?

[Jan Kraszewski]

Chodzi o zapis tej liczby w systemie siódemkowym.

JK