Postać zwarta funkcji tworzącej

[pg2464]

Witam, proszę o pomoc przy rozwiązaniu poniższego zadania

Wyznacz postać zwartą funkcji tworzącej ciągu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }k ^{2}}\)

Moje rozwiązanie

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }k ^{2}= \sum_{n=1}^{ \infty } b _{k}}\)

\(\displaystyle{ B(z)=\sum_{n=0}^{ \infty }b _{n}z ^{n}=\sum_{n=1}^{ \infty }n^{2}z ^{n}= z\sum_{n=1}^{ \infty }n \frac{d}{dz} z ^{n}= z\frac{d}{dz}\sum_{n=1}^{ \infty }nz ^{n} = z^{2}\frac{d}{dz}\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{d}{dz} z ^{n}=z^{2}\frac{d}{dz}\frac{d}{dz}\sum_{n=1}^{ \infty }z ^{n}= z^{2}\frac{d}{dz}\frac{d}{dz} ( \frac{z}{1-z})=z^{2} \frac{-2}{(1-z)^{3}}}\)

Teraz wykorzystuje wzór
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-z} \cdot A(z)= \sum_{n \ge 0}^{} ( \sum_{k=0}^{n} a _{k})z ^{n}}\)

co daje wynik
\(\displaystyle{ \frac{-2z ^{2} }{(1-z)^{4}}}\)


czy te rozwiązanie jest poprawne, czy coś jeszcze muszę tutaj policzyć ?

[squared]

A co jest tu Twoim ciągiem? Ja chyba nie rozumiem Twoich oznaczeń.

Z tego zapisu \(\displaystyle{ B(z)=\sum_{n=0}^{ \infty }b _{n}z ^{n}=\sum_{n=0}^{ \infty }n^2 z ^{n}}\) wynika, że masz ciąg \(\displaystyle{ b_n=n^2}\) i dla niego robisz funkcję tworzącą.

Jednak wcześniej napisałeś
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }k ^{2}= \sum_{n=1}^{ \infty } b _{k}}\).


A u góry w ogole napisałeś, że funkcje tworzącą masz już i jest to: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }k ^{2}}\). Tylko, że to nie jest funkcja tworząca, bo nie ma zmiennej \(\displaystyle{ z}\) w niej. Popraw treść zadania.

[pg2464]

\(\displaystyle{ B(z)}\) jest to funkcja tworząca ciągu \(\displaystyle{ b _{k}}\)

liczę ją żeby wykorzystać ten wzór \(\displaystyle{ \frac{1}{1-z} \cdot A(z)= \sum_{n \ge 0}^{} ( \sum_{k=0}^{n} a _{k})z ^{n}}\)

-- 10 wrz 2016, o 13:50 --

Nastąpił mój błąd w obliczeniach, wynik \(\displaystyle{ B(z)}\) to \(\displaystyle{ \frac{ x^{2}+x }{(1-x) ^{3} }}\)


temat do zamknięcia