Kiedy następuje zmiana znaku

[Varimatras]

Witam

Większość ludzi wie że gdy mnożymy nierówność razy -1 to następuje zmiana znaku.
Jak wygląda sytuacja w wypadku nieco bardziej skomplikowanych nierówności np.

\(\displaystyle{ x^{ \frac{3}{4}x }< \sqrt{x}^{x^{2}-x+1}}\)

i przechodzę do postaci

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}x < x^{2}-x+1}\)

Niby intuicyjnie to czuje, nawet udało mi się rozwiązać po kilku próbach tą nierówność ale wciąż robię to po omacku i potrzebuje usystematyzowania wiedzy.

Czy zmiana nierówności wynika z faktu że funkcja wykładnicza dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\) jest funkcją malejącą wobec czego dla \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})}\) i tutaj następuje zmiana znaku ale już dla \(\displaystyle{ x \in (1,+ \infty )}\) jest rosnąca więc dla \(\displaystyle{ x_{1}< x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})}\) czyli zmiany tej nie ma?

Tutaj jeszcze wydawało mi się proste dlatego że jeśli uwzględnić dziedzinę podstawy funkcji wykładniczej to obie potęgi zawsze są dodatnie, jakie jednak postępowanie przyjąć w wypadku następującej nierówności:

\(\displaystyle{ |x|^{x^{2}-x-2}<1}\)

W tym wypadku zagubiłem się totalnie ponieważ potęgi mogą przyjmować zarówno ujemne jak i dodanie wartości więc nie wiem jak to zmieniać.

Dziękuje za każdą konstruktywną uwagę.

[kalwi]

\(\displaystyle{ x^{ \frac{3}{4}x }< \sqrt{x}^{x^{2}-x+1} \\ x^{ \frac{3}{4}x }< x^{ \frac{1}{2}\cdot \left( x^{2}-x+1\right) } \\ \ln x^{ \frac{3}{4}x } < \ln x^{ \frac{1}{2}\cdot \left( x^{2}-x+1\right)} \\ \frac{3}{2}x \ln x <\left( x^2-x+1 \right) \ln x \\ \frac{3}{2}x < x^2-x+1}\)

Sorry, ale nie wiem o jakiej zmianie znaku mówisz. Tutaj się nic nie zmienia.


\(\displaystyle{ |x|^{x^{2}-x-2}<1 \\ \ln \left| x\right|^{x^2-x-2} < \ln 1 \\ \left( x^2-x-2\right)\ln \left| x \right| < 0}\)

Założenie: \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
I teraz rozbijamy na przypadki:

1)
\(\displaystyle{ \left| x\right| < 1}\)

\(\displaystyle{ \left( x^2-x-2\right)\ln \left| x\right| < 0 \wedge \ln\left| x\right| < 0}\)

Więc

\(\displaystyle{ \left( x^2-x-2\right)>0}\)

2)
\(\displaystyle{ \left| x\right| =1}\)
No i tutaj mamy zbiór pusty, bo \(\displaystyle{ 0<0}\)

3)
\(\displaystyle{ \left| x\right| >1}\)

\(\displaystyle{ \left( x^2-x-2\right)\ln \left| x\right| < 0 \wedge \ln\left| x\right|> 0}\)

Więc

\(\displaystyle{ \left( x^2-x-2\right)<0}\)

-- 2 wrz 2016, o 00:23 --

No i jeszcze to doliczę do końca może

1)
\(\displaystyle{ \left| x\right| < 1 \\
\left( x^2-x-2\right)>0 \\
(x+1)(x-2)>0 \\
x < -1 \vee x>2}\)

Czyli zbiór pusty

2) zbiór pusty

3) \(\displaystyle{ \left| x\right| > 1}\)

\(\displaystyle{ \left( x^2-x-2\right)<0 \\
(x+1)(x-2)<0 \\
x> - 1 \wedge x < 2 \wedge \left| x\right| > 1 \\
1 < x < 2}\)


No i suma z tych trzech to oczywiście \(\displaystyle{ 1<x<2}\)

Łatwe? W miarę. Warto tutaj stosować logarytm naturalny, bo to bardzo upraszcza sprawę. Fajny trick.

[Varimatras]

Kalwi, odnośnie pierwszej nierówności. Stosowałem to samo rozumowanie co Ty, tylko z pominięciem ln, tzn od razu przechodziłem na porównywanie potęg. Co do pytania gdzie następuje zmiana znaków, idąc za twoim sposobem rozwiązywania...

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}x \ln x <\left( x^2-x+1 \right) \ln x}\)

I tutaj może nastąpić zmiana znaków ponieważ dla pewnych wartości x wynik z \(\displaystyle{ \ln x}\) będzie ujemny co implikuje zmianę znaku nierówności przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ \ln x}\). Wynik docelowo jest inny niż wynika z nierówności z ostatniej linii (ma się rozwiązania to można się mędrkować).

\(\displaystyle{ x \in ( \frac{1}{2},1) \cup (1,+ \infty )}\)

Nie mniej jednak patrząc na przykład z ln dużo lepiej wyczułem moment zmiany znaku zatem dziękuje.

Co do drugiego rozwiązania, udało mi się ostatecznie ale tutaj dużo mocniej da się wyczuć wyższość twojego rozwiązania nad moim. Ja się bawiłem z tym kilka dobrych linijek dłużej i dużo mniej przejrzyste to miałem