Ustawienie 6 spośród 10 osób w rząd.

[devilx997]

Mam problem z odnalezieniem zdarzeń przeciwnych aby sprawdzić swoje obliczenia.

Na ile sposobów fotograf może umieścić w rzędzie na zdjęciu 6 osób z grupy 10 uczestników, wśród nich jest pan i pani młoda.
a) panna młoda ma być na zdjęciu
b) oboje nowożeńców ma być na zdjęciu
c) dokładnie jeden z nowożeńców ma być na zdjęciu
d) co najmniej jeden z nowożeńców ma być na zdjęciu

Ogólnie mamy \(\displaystyle{ 10}\) uczestników, \(\displaystyle{ 8}\) jeżeli nie licząc państwa młodych.

\(\displaystyle{ |X|}\) - liczba wszystkich zdarzeń \(\displaystyle{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}\).
\(\displaystyle{ A^{c}}\) - liczba zdarzeń przeciwnych.

a) Zdarzenie przeciwne, na zdjęciu może być każdy poza panna młodą?
\(\displaystyle{ A^{c} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \\
|X| - A^{c} = 151200 - 60480 = 90720.}\)

b) Zastanawiam się czy zdarzeniem przeciwnym jest tylko to że na zdjęciu nie ma żadnego z nowożeńców, czy to że nie ma jednego z nich też brać pod uwagę?

Najpierw wybieram miejsca dla nowożeńców.
\(\displaystyle{ 6 \cdot 5}\)
Pozostały \(\displaystyle{ 4}\) miejsca i \(\displaystyle{ 8}\) osób.
\(\displaystyle{ |A| = 6 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 50400}\)

Rozumowanie wydaje mi się sensowne ale nie mogę dojść do tego wyniku gdy od wszystkich zdarzeń odejmuję zdarzenia przeciwne.

c) \(\displaystyle{ |A| = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2}\)
Wybieram 5 osób poza nowożeńcami a później jednego z nich.

d) Zdarzenie przeciwne, na zdjęciu nie ma żadnego z nowożeńców?
\(\displaystyle{ A^{c} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \\
|X| - A^{c} = 151200 - 20160 = 131040}\)

Proszę o wskazanie błędów jeżeli jakieś są, a przede wszystkim jeżeli da się dostrzec błędy w sposobie myślenia.

[Poszukujaca]

a) Jak na moje oko, to jest wszystko dobrze.

b) Zdarzeniem przeciwnym do "oboje nowożeńców jest na zdjęciu" jest sytuacja, gdy nie ma przynajmniej jednego z nich.

c) ok

d) Moc tego zdarzenia będzie sumą mocy zdarzeń z b i c.

[devilx997]

b)
Tylko czy mój wynik w tym podpunkcie z poprzedniego postu był poprawny?

\(\displaystyle{ A^{c}=9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4 + 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3}\)

Przypadek gdy nie ma jednego z nowożeńców + przypadek gdy nie ma żadnego z nich.

\(\displaystyle{ |X|-|A^{c}|=151200 - 80640 = 70560}\)

Nie mogę tego pogodzić z tamtym wynikiem, chyba że błędnie założyłem iż jest poprawny.


d)
\(\displaystyle{ |A| = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot2 + 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot2\cdot1}\)

Przypadek gdy na zdjęciu jest jeden z nowożeńców + przypadek gdy są oni oboje.

Nie nie jestem pewien odpowiedzi z podpunktu b więc ta uwaga mnie nie naprowadza wystarczająco.

Czy to poprawne rozumowanie?

[Mruczek]

b) z zadania z wcześniejszego postu ok
b) zdarzenie przeciwne jest źle - tzn przypadek gdy nie ma żadnego z nich jest ok, a przypadek gdy nie ma tylko jednego jest źle - policzyłem to już poniżej.
d) zdarzenie przeciwne z wcześniejszego postu jest ok
d) zdarzenie z zadania z późniejszego postu jest policzone źle:
Gdy są obaj nowożeńcy: wybieramy pozostałe cztery osoby z ośmiu i permutujemy wszystkich:
\(\displaystyle{ {8 \choose 4} \cdot 6!}\).
Gdy jest dokładnie jeden z nich: wybieramy nowożeńca (na dwa sposoby) i pięć pozostałych osób z ośmiu i permutujemy wszystkich.
\(\displaystyle{ 2 \cdot {8 \choose 5} \cdot 6!}\)

[devilx997]

Więc podpunkt c) z pierwsze postu jest błędnie rozwiązany i powinno być:

\(\displaystyle{ 2 \cdot {8 \choose 5} \cdot 6!}\)
?

W podpunkcie d) co do pierwsze posta pisząc że zdarzenie przeciwne jest w porządku mogę to uznać za jednoznaczne iż wynik też jest poprawny?

[Mruczek]

c) jest źle rozwiązany (zakładając, że tam nie liczysz zdarzenia przeciwnego); powinno wyjść tyle co ja napisałem
Ty sobie ustaliłeś w nim tak jakbyś tylko na pierwsze 5 miejsc wybierał osoby z pozostałych ośmiu i na ostatnim był jeden z nowożeńców - trzeba jeszcze tego nowożeńca ustawić w dowolnym miejscu na 6 sposobów.
d) jest ok

[devilx997]

Dziękuję za pomoc.