szacowanie mantysy [Teoria liczb]

[marcin7Cd]

Niech \(\displaystyle{ \left\{ x \right\}}\) oznacza część ułamkową liczby \(\displaystyle{ x}\). Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ 1- \log{\left( \frac{9^n+199}{9^n}\right) } \ge \left\{ n \log{9} \right\} \ge \log{\left( \frac{9^n}{9^n-71}\right) }}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)

[arek1357]

pierwsza część nierówności:

\(\displaystyle{ 1-\lg (9^n+199)+\lg 9^n \ge \left\{ n\lg 9\right\}= n\lg 9-\left[ n\lg 9\right]}\)

\(\displaystyle{ 1+\left[ \lg 9^n\right] \ge 1+n-1=n \ge \lg (9^n+199)}\)

ostatecznie:

\(\displaystyle{ n \ge \lg (9^n+199)}\) co dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) zachdzi

[timon92]

arek1357, dlaczego \(\displaystyle{ [\lg 9^n] = n-1}\)?

[arek1357]

\(\displaystyle{ \left[ \lg 9^n\right] < \lg 10^n=n}\)

Tym się zasugerpwałem i z obserwacji tam stwierdziłem jednak możliwe że bezpieczniej wziąć nierówność.

[timon92]

w poprawionej wersji korzystasz z nieprawdziwej nierówności \(\displaystyle{ [\log 9^n] \ge n-1}\)

[arek1357]

No tak teraz widzę że nie jest prawda

[timon92]

to zadanie jest równoważne czemuś takiemu: udowodnić, że dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\) liczby \(\displaystyle{ 9^n - 71, 9^n+199}\) mają tyle samo cyfr w zapisie dziesiętnym