Wartość oczekiwana iloczynu zmiennych losowych

[elbargetni]

Pokazać, że dla:
\(\displaystyle{ X_1 \sim U(0,1), X_2 \sim U(0,X_1), X_3 \sim U(0,X_2), ..., X_n \sim U(0,X_{n-1})}\)
zachodzi:
\(\displaystyle{ E[X_1 \cdot ... \cdot X_n] = \frac{1}{(n+1)!}}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X_1 \dots X_n]= \int_{\RR^n}^{}x_1 \dots x_n \mathbf{1}_{(0,1)}(x_1) \mathbf{1}_{(0,x_1)}(x_2)\dots \mathbf{1}_{(0,x_{n-1})}(x_n) \ \dd (x_1, \dots x_n)}\)

Myślę, że przyda się twierdzenie Fubiniego (to, że jego założenia są spełnione, jest chyba jasne). Zobaczmy, jak to działa dla przypadku \(\displaystyle{ n=2}\):
\(\displaystyle{ \int_{\RR^2}^{}x_1 x_2 \mathbf{1}_{(0,1)}(x_1) \mathbf{1}_{(0,x_1)}(x_2) \ \dd (x_1,x_2)= \int_{\RR}^{}\left( \int_{\RR}^{}x_1 x_2 \mathbf{1}_{(0,1)}(x_1) \mathbf{1}_{(0,x_1)}(x_2) \ \dd x_2 \right) \ \dd x_1=\\= \int_{\RR}^{}x_1 \mathbf{1}_{(0,1)}(x_1) \int_{0}^{x_1}x_2 \ \dd x_2 \ \dd x_1= \int_{0}^{1} \frac{1}{2}x_1^2 \ \dd x_1= \frac{1}{6}= \frac{1}{(2+1)!}}\)
To teraz uogólnijmy na dowolne \(\displaystyle{ n}\) całkowite dodatnie, \(\displaystyle{ n\ge 2}\) (indukcja):
\(\displaystyle{ \int_{\RR^n}^{}x_1 \dots x_n \mathbf{1}_{(0,1)}(x_1) \mathbf{1}_{(0,x_1)}(x_2)\dots \mathbf{1}_{(0,x_{n-1})}(x_n) \ \dd (x_1, \dots x_n)=\\= \int_{\RR}^{}x_1 \mathbf{1}_{(0,1)}(x_1)\left( \int_{\RR^{n-1}}^{}x_2 \dots x_n \mathbf{1}_{(0,x_1)}(x_2)\dots \mathbf{1}_{(0,x_{n-1})}(x_n) \ \dd (x_2, \dots x_n)\right) \ \dd x_1=\\= \int_{0}^{1} \frac{1}{n!}x_1^{n} \ \dd x_1= \frac{1}{(n+1)!}}\)

Kluczowe jest to, że
\(\displaystyle{ \int_{\RR^{n-1}}^{}x_2 \dots x_n \mathbf{1}_{(0,x_1)}(x_2)\dots \mathbf{1}_{(0,x_{n-1})}(x_n) \ \dd (x_2, \dots x_n)= \frac{1}{n!}x_1^n}\).
Możesz to ściśle pokazać indukcyjnie, jak wyżej korzystając z tw. Fubiniego.


BTW masz jakieś porady, jak zdać rachunek prawdopodobieństwa 2?

[fon_nojman]

Mam pytanie co oznacza zapis \(\displaystyle{ X_2 \sim U(0,X_1) ?}\) Pytam bo spotkałem się z rozkładem jednostajnym na odcinku o stałych końcach tzn. \(\displaystyle{ U(a,b),}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R}}\) są z góry ustalonymi liczbami nielosowymi. Może to jest oczywiste jak to rozumieć ale jakoś teraz nic nie przychodzi mi na myśl.

\(\displaystyle{ \ldots= \int_{\RR}^{}x_1 \mathbf{1}_{(0,1)}(x_1) \int_{0}^{x_1}x_2 \ \dd x_2 \ \dd x_1= \int_{0}^{1} \frac{1}{2}x_1^2 \ \dd x_1=\ldots}\)

Błąd rachunkowy, powinno być \(\displaystyle{ \int_{\RR}^{}x_1 \mathbf{1}_{(0,1)}(x_1) \int_{0}^{x_1}x_2 \ \dd x_2 \ \dd x_1= \int_{0}^{1} \frac{1}{2}{\red x_1^3} \ \dd x_1.}\)

Zainspirowany rozwiązaniem @Premislav, napisałbym tak
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X_1 \dots X_n]= \int_{\RR^n}^{}x_1 \mathbf{1}_{(0,1)}(x_1) \frac{1}{x_1} \mathbf{1}_{(0,x_1)}(x_2)\dots \frac{1}{x_n}\mathbf{1}_{(0,x_{n-1})}(x_n) \ \dd (x_1, \dots x_n)}\)
bo indykatory mają pełnić funkcję gęstości. Wtedy po skróceniach i wyliczeniach wychodzi to co chcemy.

Z dokładnością do zrozumienia oznaczenia z początku mojego postu a to jest kluczowe w tym zadaniu.

[Premislav]

Racja, tak jak napisałem to by nie miało sensu, chyba mnie dopadła jakaś ślepota.
Dzięki.