Lemniskata - pole powierzchni i objętość bryły obrotowej

[Lucky_Pierre]

Witam, mam pytanie, jak obliczyć pole powierzchni i objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu lemniskaty Bernoulliego \(\displaystyle{ (x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2}(x^{2}+y^{2})}\) wokół osi x?

[Kartezjusz]

Zamień na współrzędne biegunowe

[Lucky_Pierre]

Dobrze, przeszedłem na wspórzędne biegunowe i mam równanie \(\displaystyle{ u^{2}=2a^{2}cos2v}\). Co dalej?

[Kartezjusz]

Wyciągasz \(\displaystyle{ u}\) przez pierwiastkowanie. Będziesz miał dwie gałęzie rozwiązań. Parametryzacja nie będzie trudna i do wzorów.

[Lucky_Pierre]

Dziękuję, Kartezjuszu
Mam zatem \(\displaystyle{ u = a(2cos2v)^{1/2}}\), ale jakie wzory dalej stosować? Bo jeśli zastosuję powszechnie znany wzór na pole powierzchni \(\displaystyle{ P = 2 \pi \int_{g}^{h} \sqrt{1+[f'(x)]^{2}} f(x) dx}\) to ostatecznie otrzymuję funkcję, której całka nie wyraża się przez skończoną liczbę funkcji elementarnych.
Znam podstawowe wzory i twierdzenia oraz umiem je zastosować, usiłuję jedynie dowiedzieć się, gdzie leży mój błąd i dlatego pytam się mądrzejszych i bardziej doświadczonych od siebie

[Kartezjusz]

Jakby co to masz 2 plusy w swoim równaniu.