Wymierne przybliżenie liczby

[piternet]

Witam,

Mam znaleźć jakiekolwiek wymierne przybliżenie \(\displaystyle{ q}\) liczby \(\displaystyle{ a = \frac{\sin(\sqrt{2})}{\sqrt{2}}}\) z dokładnością do \(\displaystyle{ d = \frac{1}{500}}\).

Ogolnie znam sposób rozwiązywania takich zadan, przy pomocy rozwinięcia funkcji w wielomian Taylora i pewną resztę która możemy szacować z tw. Lagrange'a o postaci reszty Taylora, ale tu napotkałem takie problemy:

Oczywiście zdefiniowalem sobie funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\sin(x)}{x}}\) i zazwyczaj stosuje się dla takiej funkcji wielomian Taylora o środku w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} = 0}\). Tu jednak nie mozemy tak postąpić, bo wtedy \(\displaystyle{ f(0)}\) nie jest zdefiniowana, a nam jest potrzebna do uzyskania wielomianu.
Próbowałem w takim razie \(\displaystyle{ x_{0} = \frac{\pi}{2}}\), można wtedy uzyskac przybliżenie, ale... no właśnie, nie jest wymierne, bo zostają nam i pierwiastki z dwóch i liczba pi do tego.

W takim razie - jak się do tego zabrać?
Dzięki z góry za pomoc!

[Kartezjusz]

Pomocniczo przyjmij \(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1 \ \mbox{dla} \ x=0 \\ \frac{\sin x}{x} \ \mbox{dla} \ x \neq 0 \end{cases}}\) Wtedy mamy ciągłe rozszrzenie naszej funkcji. Określ teraz jakie potrzebujemy pochodne, aby móc dokonać szacunku z żądaną dokładnością. I to rozszerzymy.

[piternet]

Hmm, co dokładnie masz na myśli, mówiąc że to rozszerzymy?
Szczerze mówiąc, to nie jestem teraz juz pewien jak określic jakie pochodne potrzebujemy. W sensie wiem jak to zrobic ideowo, ale na tym przykładzie - wychodza straszne te pochodne + nie ma wzoru na n-tą pochodną, jak to jakoś najbardziej sensownie robić? Liczyć po kolei pochodne i podstawiać je po kolei do wzoru na resztę i liczyć dla \(\displaystyle{ x = \sqrt{2}}\)?

Zrobiłem tak dla drugiej reszty (właśnie nie jestem tez pewien nazewnictwa, \(\displaystyle{ R_{2} (x)}\) to ma we wzorze pochodną drugą czy już trzecią? Bo jak mamy równanie \(\displaystyle{ f(x) = T_{n} (x) + R_{n} (x)}\) to w którymś z tych dwóch, albo T albo R trzeba zdecydować czy wcześniej skonczyć czy pozniej zacząć i zauwazylem ze w skrypcie mam inaczej, a na materiałach w internecie inaczej? To tak przy okazji ).

Wracając - policzylem drugą pochodną, podstawiłem do wzoru na resztę, dostałem że dla pewnego c mam oszacowanie:
\(\displaystyle{ R_{2}(x) \le \frac{c^3 + 2c^2 + 1}{c^4}}\) (wszystkie sin i cos które były we wzorze na pochodną po prostu poograniczałem w nierównosci), ale co z tym dalej?
Gdzie tu jakoś uzyskać konkretną liczbę?

[Kartezjusz]

Skąd masz to oszacowanie?
Moim pomysłem jest rozważyć tę funkcję, ale ze zdefiniowanym \(\displaystyle{ f(0)}\) odgórnie, by były wszystkie potrzebne pochodne by można było traktować ze wzoru Taylora jak miałeś pierwotnie w planie, bo weźmiemy odpowiednio małe otoczenie \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) by legalnie rozwinąć wielomianem Taylora

[piternet]

Co do tego małego otoczenia, to po prostu nie liczymy wielomianu Taylora dla całej dziedziny tej funkcji tylko w pewnym otoczeniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), tak? I co dokładnie nam to umożliwia? Bo nie rozumiem do końca co nam to daje.
Co do mojego oszacowania, no to liczę po kolei:
\(\displaystyle{ f(0) = 0}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{x^2 \cdot \cos x - \sin x}{x^2}}\)
\(\displaystyle{ f''(x) = \frac{x^3 \cdot \sin x - 2x^2 \cdot \cos x + \sin x }{x^4}}\)

Mamy zatem drugą pochodną, czyli druga reszta to \(\displaystyle{ R_2 (\sqrt{2}) = \frac{ \frac{c^3 \cdot \sin c - 2c^2 \cdot \cos c + \sin c }{c^4}}{2} \cdot 2}\), gdzie to \(\displaystyle{ c}\) jest z tw. Lagrange'a, czyli jakiś punkt na przedziale \(\displaystyle{ (0, \sqrt{2}}\).
No i potem te sinusy i cosinusy ograniczam, biorąc największe możliwe wartości wyrazeń z nimi.

[Kartezjusz]

Znasz rozwinięcie sinusa i cosinusa. Reszta musi być mniejsza niż twoja dokładność.