Teoria klas Kelleya-Morse`a

[Tomasz Tkaczyk]

Mam pytanie dotyczące teorii klas Kelleya-Morse`a:

Wśród aksjomatów tej teorii jest wymieniany aksjomat regularności: \(\displaystyle{ A \neq \emptyset \rightarrow (\exists m)(m \in A \wedge m \cap A = \emptyset)}\).
W szczególności wynika z niego, że dla każdej klasy \(\displaystyle{ A}\) zachodzi \(\displaystyle{ A \notin A}\).

Jednak gdy rozważymy na przykład klasę \(\displaystyle{ ON}\)\(\displaystyle{ = \{ x: x}\) jest liczbą porządkową \(\displaystyle{ \}}\), to łatwo się przekonamy, że \(\displaystyle{ ON}\) także ma własności liczby porządkowej, co oznacza, że \(\displaystyle{ ON \in ON}\).

Gdzie leży nieścisłość w powyższym rozumowaniu?

Przypuszczam, że w kontekście tej teorii powinniśmy myśleć na dwóch poziomach: na poziomie obiektów mających daną własność, tzn. spełniających daną formułę języka \(\displaystyle{ \mathcal{L}(\in)}\), które są elementami pewnej klasy, oraz na poziomie samych klas "składających" się z obiektów pierwszego poziomu, a które same wykraczają poza zakres formuł, które spełniają ich elementy. Jednak wydaje mi się, że wciąż nie potrafię tego dobrze zrozumieć.

-- 18 stycznia 2015, 20:46 --

Może jeszcze doprecyzuję.

Mając dany model \(\displaystyle{ M}\) teorii zbiorów \(\displaystyle{ ZF}\) można wyróżnić zbiór \(\displaystyle{ ON^{(M)}}\) liczb porządkowych w modelu \(\displaystyle{ M}\), to znaczy \(\displaystyle{ ON^{(M)} = ON \cap M}\) i "z perspektywy" \(\displaystyle{ M}\) obiekt \(\displaystyle{ ON^{(M)}}\) jest klasą wszystkich liczb porządkowych, lecz w pewnym (meta-)modelu, w którym pracujemy "nad" \(\displaystyle{ M}\) jest on zbiorem. Wówczas zachodzi \(\displaystyle{ ON^{(M)} \in ON}\), bo \(\displaystyle{ ON^{(M)}}\) jest zwykłą liczbą porządkową (która nie należy do \(\displaystyle{ M}\)). To jest dla mnie jasne.

Rozumiem, jak się mają klasy do zbiorów myśląc w kontekście teorii zbiorów. Nie rozumiem jednak, czym są klasy w teorii klas.

[Jakub Gurak]

Przypuszczam, że w kontekście tej teorii powinniśmy myśleć na dwóch poziomach: na poziomie obiektów mających daną własność, tzn. spełniających daną formułę języka \(\displaystyle{ \mathcal{L}(\in)}\), które są elementami pewnej klasy, oraz na poziomie samych klas "składających" się z obiektów pierwszego poziomu, a które same wykraczają poza zakres formuł, które spełniają ich elementy. Jednak wydaje mi się, że wciąż nie potrafię tego dobrze zrozumieć.

Odnoszę wrażenie że nie rozumiesz jednej z najważniejszych rzeczy, że elementami klas są zbiory, nie klasy. Jest oczywiste, że wprowadzając pojęcie klasy nie możemy opierać się na zasadzie z naiwnej teorii mnogości że gromadzimy elementy tworząc klasy. A jak było z naiwnym pojęciem zbioru? Też podchodzono że mając elementy możemy z nich utworzyć zbiór. I rozważanie zbioru zbiorów które nie należą do samych siebie prowadziło do paradoksu Russela. Toteż takie podejście, że każda kolekcja elementów nie będąca zbiorem jest klasą, jest niewłaściwe. Jest w gruncie rzeczy zmienieniem tylko nazwy zbiór na klasa, a nie usunięciem paradoksu.
Trzeba pewne zabezpieczenia podjąć. Robi się to zakładając że elementami klas są zbiory. Rozważanie klas złożonych z klas mogłoby prowadzić do takich paradoksów.

Nie rozumiem jednak, czym są klasy w teorii klas.

Są dowolnymi bytami, podobnie jak zbiory są dowolnymi bytami w ZFC.
Natomiast zbiory to elementy klas. Każdy zbiór jest klasą, ale nie na odwrót. Jeśli klasa \(\displaystyle{ X}\) nie jest zbiorem, a \(\displaystyle{ Y}\) jest klasą to \(\displaystyle{ X\not\in Y}\).
Z pojęciem klasy chodzi najprościej o to, by gromadzić zbiory w dowolnie dużej ilości, tworząc klasy. W szczególności możemy rozpatrywać klasę wszystkich zbiorów.

co oznacza, że \(\displaystyle{ ON \in ON.}\)
Gdzie leży nieścisłość w powyższym rozumowaniu?

Klasa \(\displaystyle{ ON}\) nie jest zbiorem, zatem \(\displaystyle{ ON\not\in ON}\).

dla każdej klasy \(\displaystyle{ A}\) zachodzi \(\displaystyle{ A \notin A.}\)

Wiemy że dla zbiorów \(\displaystyle{ A \ \ A \notin A}\) w ZFC. Ponieważ podany przez Ciebie aksjomat regularności z teorii klas jest taki sam jak w ZFC, więc w teorii klas pewnie również dla zbiorów \(\displaystyle{ A \ \ A\not\in A}\). Pozostaje sprawdzić klasy niebędące zbiorami.
Gdyby więc dla klasy \(\displaystyle{ X}\) niebędącej zbiorem było \(\displaystyle{ X\in X}\), to \(\displaystyle{ X}\) jako element klasy musi być zbiorem. Sprzeczność. Jest to najprostszy dowód świata.

[Tomasz Tkaczyk]

Dzięki za wyjaśnienia.

Można o tym myśleć tak: W teorii klas tylko zbiory (klasy niewłaściwe) mają właściwość, że mogą spełniać lub nie spełniać relacji należenia (z innym zbiorem lub klasą właściwą). Natomiast klasy właściwe nie i należy je traktować tylko jako kontenery na zbiory - o ich należenie do czegokolwiek po prostu nie pytamy. Jednak jest to tylko pewna intuicja.

Można rozważać obiekt \(\displaystyle{ V = \{ x: x \notin x \}}\) i okazuje się, że jest on klasą właściwą (klasą wszystkich zbiorów (klas niewłaściwych)) ale sam \(\displaystyle{ V}\) do siebie nie należy (inaczej mielibyśmy sprzeczność z aksjomatem regularności). Właśnie w tym leży ta trudność, bo można pomyśleć, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) spełnia pewną formułę (i tutaj spełnia), to musi należeć do klasy zawierającej wszystkie ,,obiekty' spełniające tę formułę (i co...teoria klas jest sprzeczna?).

Na temat tych zagadnień uczyłem się jakieś 6-7 lat temu na studiach, wtedy wydawało mi się to wszystko dosyć jasne, ale po latach wracają wątpliwości.

[Dasio11]

O rzeczonej teorii wiem tyle, ile przeczytałem na wikipedii, ale ja to rozumiem tak:

W teorii klas tylko zbiory (klasy niewłaściwe) mają właściwość, że mogą spełniać lub nie spełniać relacji należenia (z innym zbiorem lub klasą właściwą). Natomiast klasy właściwe nie i należy je traktować tylko jako kontenery na zbiory - o ich należenie do czegokolwiek po prostu nie pytamy.

Nie. Dla każdych dwóch klas \(\displaystyle{ a, b}\) - czy to klasy właściwe, czy niewłaściwe (czyli zbiory) - możemy zapytać, czy \(\displaystyle{ a \in b}\) czy też nie. Obiekt \(\displaystyle{ a}\) nazywamy zbiorem, jeśli po zrobieniu badań w terenie okaże się, że istnieje takie \(\displaystyle{ b,}\) że \(\displaystyle{ a \in b.}\)
Innymi słowy, klasy właściwe i niewłaściwe nie należą do różnych sortów, do których opisu musimy używać innego języka - tak jak w naiwnej teorii mnogości rozróżniamy liczby naturalne od zbiorów liczb naturalnych i raczej nie pytamy, czy \(\displaystyle{ 1 \in 2}\) lub czy \(\displaystyle{ \NN + \varnothing = \{ 42 \}.}\) W teorii klas bycie zbiorem jest tylko własnością warunkowaną przez to, jak układają się relacje \(\displaystyle{ \in}\) danej klasy z innymi - można to porównać do różnicy między liczbą naturalną parzystą a nieparzystą.

Można rozważać obiekt \(\displaystyle{ V = \{ x: x \notin x \}}\) i okazuje się, że jest on klasą właściwą (klasą wszystkich zbiorów (klas niewłaściwych)) ale sam \(\displaystyle{ V}\) do siebie nie należy (inaczej mielibyśmy sprzeczność z aksjomatem regularności).

Zgadza się.

Właśnie w tym leży ta trudność, bo można pomyśleć, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) spełnia pewną formułę (i tutaj spełnia), to musi należeć do klasy zawierającej wszystkie ,,obiekty' spełniające tę formułę (i co...teoria klas jest sprzeczna?).

No pewnie że nie, ze względu na inne sformułowanie aksjomatu wycinania w teorii klas: dla dowolnej formuły \(\displaystyle{ \varphi}\) istnieje klasa złożona ze wszystkich zbiorów spełniających tę formułę - zatem tak naprawdę

\(\displaystyle{ V = \{ x : x \text{ jest zbiorem oraz } x \notin x \}.}\)

Mimo więc, iż \(\displaystyle{ V}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \varphi(x) \equiv x \notin x,}\) to niekoniecznie załapuje się na przynależność do samego siebie (z definicji), bo być może nie jest zbiorem.
Gdyby jednak \(\displaystyle{ V}\) było zbiorem, to prowadziłoby to do paradoksu Russela. W teorii klas zaś to, co w naiwnej teorii mnogości jest paradoksem, staje się dowodem na to, że \(\displaystyle{ V}\) nie jest zbiorem. I wszystko się zgadza.

[Jakub Gurak]

Można o tym myśleć tak: W teorii klas tylko zbiory (klasy niewłaściwe) mają właściwość, że mogą spełniać lub nie spełniać relacji należenia (z innym zbiorem lub klasą właściwą). Natomiast klasy właściwe nie i należy je traktować tylko jako kontenery na zbiory - o ich należenie do czegokolwiek po prostu nie pytamy. Jednak jest to tylko pewna intuicja.

To dość dobra intuicja. Z tym że

Dla każdych dwóch klas \(\displaystyle{ a, b}\) - czy to klasy właściwe, czy niewłaściwe (czyli zbiory) - możemy zapytać, czy \(\displaystyle{ a \in b}\) czy też nie.

Teoretycznie tak, ale tylko teoretycznie.

Bowiem jeśli klasa \(\displaystyle{ A}\) nie jest zbiorem, a \(\displaystyle{ B}\) jest jakąkolwiek klasą to

\(\displaystyle{ A\not\in B}\), bo elementami klas mogą być tylko zbiory

I tyle. Także taka uwaga techniczna.

W teorii klas bycie zbiorem jest tylko własnością warunkowaną przez to, jak układają się relacje \(\displaystyle{ \in}\) danej klasy z innymi

Tylko

Ja wynoszę przekonanie, że wszystkie zbiory poznane w teorii mnogości ZFC przenoszą się naturalnie na zbiory w teorii klas.

Można rozważać obiekt \(\displaystyle{ V = \{ x: x \notin x \}}\) i okazuje się, że jest on klasą właściwą (klasą wszystkich zbiorów (klas niewłaściwych)) ale sam \(\displaystyle{ V}\) do siebie nie należy (inaczej mielibyśmy sprzeczność z aksjomatem regularności). Właśnie w tym leży ta trudność, bo można pomyśleć, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) spełnia pewną formułę (i tutaj spełnia), to musi należeć do klasy zawierającej wszystkie ,,obiekty' spełniające tę formułę (i co...teoria klas jest sprzeczna?).

Powoli.

Mimo więc, iż \(\displaystyle{ V}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \varphi(x) \equiv x \notin x}\), to niekoniecznie załapuje się na przynależność do samego siebie (z definicji), bo być może nie jest zbiorem.
Gdyby jednak \(\displaystyle{ V}\) było zbiorem, to prowadziłoby to do paradoksu Russela. W teorii klas zaś to, co w naiwnej teorii mnogości jest paradoksem, staje się dowodem na to, że \(\displaystyle{ V}\) nie jest zbiorem. I wszystko się zgadza.

Dość pokrętnie to wyjaśniłeś. Postaram się to wyjaśnić czytelniej.

Po kolei. Rozważamy wszystkie zbiory (bo elementami klas są zbiory), zbiory które nie należą do samych siebie. Poprawmy więc ten zapis:

\(\displaystyle{ V = \{ x\in \mathbb {K}: x \notin x \}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb {K}}\) oznacza klasę wszystkich zbiorów.

Jest to poprawna definicja, zastanówmy się więc , jakie są elementy \(\displaystyle{ V}\).

Są to wszystkie zbiory, które nie są elementami swoimi. Ale dla każdego zbioru \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ x\not\in x}\), wobec czego otrzymujemy klasę wszystkich zbiorów, czyli \(\displaystyle{ V = \mathbb {K}}\), która nie jest zbiorem ( nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów).

Więc ponieważ \(\displaystyle{ V}\) nie jest zbiorem, więc \(\displaystyle{ V\not\in \mathbb {K}}\), więc tym bardziej \(\displaystyle{ V\not\in V}\), i się zgadza,
a mechanizmu pochodzącego z paradoksu Russela w ogóle nie uruchamiamy, bo \(\displaystyle{ V}\) nie jest zbiorem. Nie ma tu sprzeczności.

[Tomasz Tkaczyk]

Dziękuję za (dok)ładne wyjaśnienie.