Tw. Moivre'a - Laplace'a

[MisterWolf]

W urnie znajduje się 36 kul białych i 64 czarnych.
Losujemy kule po jednej ze zwracaniem. Ile losowań należy
dokonać, aby ppb tego, że częstość otrzymywania kuli białej nie
leży poza przedziałem [0.24; 0.48] było równe 0,1 lub mniej?

Robię to zadanie z tw. Moivre'a Laplace'a ale wynik wychodzi zły, czy widzi ktoś błąd w moim rozumowaniu ?? Oto moje rozwiązanie:
p = 0.36
q = 0.64
E(S) = np = 0.36n
\(\displaystyle{ \sqrt{npq} = 0.48 \sqrt{n}}\)
\(\displaystyle{ P (0.24n \le S \le 0.48n) \le 0.1}\)
\(\displaystyle{ F( \frac{0.48n - 0.36n}{0.48 \sqrt{n}}) - F( \frac{0.24n - 0.36n}{0.48 \sqrt{n}} ) = F( \frac{0.12n}{0.48\sqrt{n}}) - (1 - F( \frac{0.12n}{0.48\sqrt{n}})) = 2 F( \frac{0.12n}{0.48\sqrt{n}}) - 1 \le 0.1}\)
F jest dystrybuantą rozkł. normalnego jej argument dla wartości 0.55 odczytujemy z tabelki i wynosi on 0.13
Więc:
\(\displaystyle{ 2 F(\frac{0.12n}{0.48\sqrt{n}}) \le 1.1}\)
\(\displaystyle{ \frac{0.12n}{0.48\sqrt{n}} \le 0.13}\)
\(\displaystyle{ 0.25\sqrt{n} \le 0.13}\)
\(\displaystyle{ n \le 0.27}\)
Wynik jak nie trudno zauważyć to bzdura

[kuch2r]

a możesz wyjaśnić dalczego
\(\displaystyle{ P(0.24 n < \ldots )}\)
Co z tym n ?

[MisterWolf]

Bo n to liczba losowań, więc 0.24n jest dolnym ograniczeniem na liczbę wylosowań białej kuli

[Emiel Regis]

kuch2r, dobrze jest gdyż nas pytają o częstotliwość tj.:

\(\displaystyle{ P(0,24 \le S/n \le 0,48)}\)

a to jest dokładnie \(\displaystyle{ P(0,24n \le S \le 0,48n)}\).

MisterWolf, Twój wynik nie jest tak całkiem bzdurny. Prawdopodobieństwo sukcesu to 0,36. Chcemy żeby częstotliwość losowania kul białych była w przedziale [0,24; 0,48] czyli blisko wartości oczekiwanej. Siłą rzeczy takie prawdopodobieństwo musi być duże, a tutaj ktoś chce je uczynić bardzo małym. Prześledziłem na szybko Twoje rachunki i wyglądają na dobre. Zostawmy na chwilę prawą stronę i policzmy po prostu prawdopodobieństwo z lewej. Tak jak napisałeś wychodzi tyle:

\(\displaystyle{ L = P(0,24 \le S/n \le 0,48) = 2F(0.25 \sqrt{n})-1}\)

No to podstawmy z ciekawości kilka wartości n i zobaczmy co wyjdzie.
\(\displaystyle{ \mbox{a) } \ n = 100, \ L \approx 1\\
\mbox{b) } \ n=9, \ L \approx 0,54\\
\mbox{c) } \ n=1, \ L \approx 0,2}\)

Funkcja \(\displaystyle{ n \rightarrow 2F(0,25 \sqrt{n})}\) jest rosnąca (bo dystrybuanta jest) więc nic mniej niż 0,2 już nie uzyskamy.

A teraz najśmieszniejsza rzecz. To wszystko co jest napisane u góry nie jest prawdą dla małych n. Centralne twierdzenia graniczne dotyczą asymptotyki więc aby móc je stosować n musi być duże. Dla małych n otrzymane wartości są po prostu nieprawdziwe. Cała praca powyżej nie jest całkiem na marne gdyż dzięki niej możemy już wykluczyć wszystkie duże wartości n gdyż dla nich na pewno będziemy siedzieli w szukanym przedziale. Niemniej trzeba i tak wszystko ręcznie liczyć.
Dla n = 1 jest ono równe oczywiście 0 (bo losując jedną kulę to częstość jest albo 0 albo 1 więc na pewno leży poza przedziałem [0,24; 0,48]).
Dla n = 2 znów zero bo możliwe częstotliwości to 0; 0,5; 1.
Dalej już sam się pobaw: ) Już niewiele zostało.

[Sarken]

Pozwolę sobie odświeżyć. Co w przypadku gdy interesuję nas przedział odwrotny. Zadanie jest analogiczne do tego z Krysickiego. Tam jest ono sformułowane tak:

"W urnie znajduje się 36 kul białych i 64 czarnych. Losujemy kule po jednej ze zwracaniem. Ile losowań należy dokonać, aby ppb tego, że częstość otrzymywania kuli białej różni się od 0,36 o conajmniej 0,12 było równe 0,1. "

Jak odwrócę kolejność, wychodzi mi, że dystrybuanta o wartości z posta autora wynosi 0,45, co jest niemożliwe. Jak powinny wyglądać obliczenia dla wartości z zewnątrz przedziału podanego w pierwszym poście?-- 27 sie 2016, o 11:25 --Odświeżam.

[jestemmatematykiem]

Podbiję temat raz jeszcze, mam do rozwiązania to samo zadanie co kolega wyżej :

W urnie znajduje się 36 kul białych i 64 czarnych. Losujemy kule po jednej ze zwracaniem. Ile losowań należy dokonać, aby ppb tego, że częstość otrzymywania kuli białej różni się od 0,36 o conajmniej 0,12 było równe 0,1.

Na forum jeden użytkownik pomógł mi z tym rozwiązaniem, jednak wynik jest inny niż w książce i teraz nie wiem czy błąd znajduje się w książce czy w rozwiązaniu dlatego bardzo proszę o zweryfikowanie zadania.

Pozdrawiam