Zestaw aksjomatów

[Santiago A]

Czy aby uprawiać matematykę bez napotykania na różne dziwactwa wystarczy pracować z następującym zestawem aksjomatów:
- aksjomaty ZF
- hipoteza Suslina
- negacja hipotezy Kurepy
- uogólniona hipoteza continuum
- jakaś słabsza wersja aksjomatu wyboru, która nie pociąga tw. Hahna-Banacha?

[Tomasz Tkaczyk]

A co to są te dziwactwa?

[Santiago A]

Twierdzenie Hahna-Banacha implikuje paradoksalny rozkład kuli, rzecz nie do pomyślenia dla forumowych finitystów.

[rafal3006]

W innym Wszechświecie to jest możliwe.
Nikt nie udowodni że nie jest, zatem jest.

[Santiago A]

Zdaję sobie sprawę z tego, że różne osoby mogą mieć różne poglądy na implikację, jednak w 1991 Pawlikowski pokazał, że w teorii ZF + tw. Hahna-Banacha paradoks Banacha-Tarskiego jest obecny.

[matmatmm]

Paradoks Tarskiego-Banacha nie jest wcale taki paradoksalny, bo części, na które ta kula jest podzielona są niemierzalne w sensie Lebesgue'a.

[rafal3006]

Paradoks Tarskiego-Banacha nie jest wcale taki paradoksalny, bo części, na które ta kula jest podzielona są niemierzalne w sensie Lebesgue'a.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_Banacha-Tarskiego

Podobnie nieintuicyjnym wydaje się wariant twierdzenia Banacha-Tarskiego, z którego wynika, że ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca. I tutaj nie ma żadnej sprzeczności – kawałki podziału są niemierzalne (należy zauważyć, że podział fizycznego ziarnka grochu na niemierzalne części jest niemożliwy w świecie rzeczywistym).

Pytam jako laik:
Z ostatniego zdania wytłuszczonego wynika mi, że tego wariantu twierdzenia Banacha-Tarskiego w naszym Wszechświecie nie sposób w sposób doświadczalny ani potwierdzić, ani obalić.

Identycznie jest z teorią strun:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Teoria_strun

Też, w naszym Wszechświecie nie sposób jej doświadczalnie ani potwierdzić, ani obalić.

Kontrowersje - cytat:
Teoria strun nie ma do tej pory dowodów na swą słuszność. Wielu naukowców zarzuca jej brak potwierdzających ją doświadczeń.
Philip Anderson twierdzi, że teoria ta jest "pierwszą od setek lat nauką, która uprawiana jest w sposób przedbaconowski, bez żadnej odpowiedniej procedury eksperymentalnej"[39].
Sheldon Lee Glashow twierdzi natomiast ironicznie, że teoria ta jest "absolutnie bezpieczna", jako że nie ma żadnego sposobu, by ją zweryfikować i ewentualnie obalić[40].

Podsumowując:
Znów pytam jako laik …
Czy uzasadnianie paradoksów wynikających w twierdzenia Banacha-Tarskiego faktem iż nie ma problemu, bo w naszym Wszechświecie to niemożliwe … jest poprawne od strony czysto matematycznej?
Czy nie są to uzasadnienia w stylu „Bóg istnieje” bo nikt nie udowodni że „nie istnieje”?

[matmatmm]

Czy uzasadnianie paradoksów wynikających w twierdzenia Banacha-Tarskiego faktem iż nie ma problemu, bo w naszym Wszechświecie to niemożliwe … jest poprawne od strony czysto matematycznej?

Paradoks Tarskiego-Banacha ma uzasadnienie matematyczne to znaczy dowód. Jedynym problemem jest fakt, że w tym dowodzie korzysta się z aksjomatu wyboru, a nie można doświadczalnie stwierdzić, czy we wszechświecie ten aksjomat jest prawdziwy, czy fałszywy. Jest to kwestia filozoficzna.

[AiDi]

Z ostatniego zdania wytłuszczonego wynika mi, że tego wariantu twierdzenia Banacha-Tarskiego w naszym Wszechświecie nie sposób w sposób doświadczalny ani potwierdzić, ani obalić.

Nie mieszaj proszę fizyki z matematyką jako taką. Matematyka nie jest nauką doświadczalną, ergo nie podlega doświadczalnemu "potwierdzeniu".

Identycznie jest z teorią strun:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Teoria_strun

Też, w naszym Wszechświecie nie sposób jej doświadczalnie ani potwierdzić, ani obalić.

Wikipedia nie jest żadnym źródłem naukowym. Modeli strunowych nie da się w tej chwili potwierdzić ze względów czysto technicznych. I dlaczego akurat przywołujesz tylko teorie strun, skoro modeli mających podobne aspiracje co te jest co najmniej kilka? Bo nie są aż tak popularne? Powoływanie się na modele strunowe przez laików wykazuje głównie ich, niestety, ignorancję w tym temacie, bo traktują te modele jako coś co jest w centrum zainteresowania fizyków teoretyków szukających unifikacji wszystkich oddziaływań. A od lat te modele nie są już w centrum. Co z pętlową grawitacją? Teleparalelne modele OTW? Kauzalne triangulacje? Podejść jest multum. Nie poczytasz o nich w literaturze popularnonaukowej? Trudno, w fizyce wciąż nie są wiele gorsze niż "teorie strun", jedynie młodsze.

Kontrowersje - cytat:

To samo można powiedzieć o każdym jednym modelu rozszerzającym Model Standardowy, czy próbującym unifikować grawitację z resztą oddziaływań. Co z tego? Co to ma do matematyki i jej struktury? Nic.

Podsumowując:

nie mieszaj fizyki i czystej matematyki, nie znając wystarczająco dobrze mieszanych składników. Temat jest czysto matematyczny i wszelkie nawiązania do fizyki są po prostu off-topem.

[rafal3006]

Czy aby uprawiać matematykę bez napotykania na różne dziwactwa ...

W matematyce nie ma żadnych dziwactw, bo z definicji takowych być nie może, co wyjaśnił AiDi.
Dzięki za wyjaśnienie.-- 21 sierpnia 2016, 01:39 --

Czy uzasadnianie paradoksów wynikających w twierdzenia Banacha-Tarskiego faktem iż nie ma problemu, bo w naszym Wszechświecie to niemożliwe … jest poprawne od strony czysto matematycznej?

Paradoks Tarskiego-Banacha ma uzasadnienie matematyczne to znaczy dowód. Jedynym problemem jest fakt, że w tym dowodzie korzysta się z aksjomatu wyboru, a nie można doświadczalnie stwierdzić, czy we wszechświecie ten aksjomat jest prawdziwy, czy fałszywy. Jest to kwestia filozoficzna.

Czy dopuszczasz myśl, że aksjomat X może być fałszywy?
... i co wtedy?

[matmatmm]

Czy dopuszczasz myśl, że aksjomat X może być fałszywy?
... i co wtedy?

Nie wiem. Nie zajmuję się filozofią. Czysta matematyka nie jest nauką doświadczalną i z mojego punktu widzenia nie ma żadnego znaczenia, czy pewnik wyboru możnaby w jakiś doświadczalny sposób obalić lub potwierdzić (bardzo, bardzo wątpię by było to możliwe). Nawet jeśli byłyby przesłanki, że jest nieprawdziwy, to i tak interesujące dla matematyka są wyniki, które można udowodnić z niego korzystając, o ile nie okaże się na przykład, że ZFC jest sprzeczne.

[rafal3006]

Czy dopuszczasz myśl, że aksjomat X może być fałszywy?
... i co wtedy?

Nie wiem. Nie zajmuję się filozofią. Czysta matematyka nie jest nauką doświadczalną i z mojego punktu widzenia nie ma żadnego znaczenia, czy pewnik wyboru możnaby w jakiś doświadczalny sposób obalić lub potwierdzić (bardzo, bardzo wątpię by było to możliwe). Nawet jeśli byłyby przesłanki, że jest nieprawdziwy, to i tak interesujące dla matematyka są wyniki, które można udowodnić z niego korzystając, o ile nie okaże się na przykład, że ZFC jest sprzeczne.

... -Tarskiego
Podobnie nieintuicyjnym wydaje się wariant twierdzenia Banacha-Tarskiego, z którego wynika, że ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca.

Zrobić z ziarenka grochu kulę wielkości słońca to rzeczywiście bardzo interesujący wynik i pasjonująca matematyka - zgoda w 100%.

[Santiago A]

Nawiązując jeszcze do postu Tomasza Tkaczyka. Nie chcę, by istniały kolejno:
- prosta Suslina (niepusty zbiór z liniowym, gęstym, zupełnym porządkiem bez elementu najmniejszego / największego, w którym rodziny parami rozłącznych otwartych przedziałów są co najwyżej przeliczalne, który nie jest izomorficzny z \(\displaystyle{ \mathbb R}\))
- drzewo Kurepy (drzewo wysokości \(\displaystyle{ \omega_1}\) o co najwyżej przeliczalnych poziomach, które ma co najmniej \(\displaystyle{ \omega_2}\) gałęzi)
- nierównoliczne zbiory \(\displaystyle{ A, B}\), dla których funkcji \(\displaystyle{ A \to 2}\) i \(\displaystyle{ B \to 2}\) jest tyle samo.

Aksjomatu wyboru w jakiejś słabej postaci potrzebuję, żeby móc sensownie uprawiać analizę.

[qed]

- nierównoliczne zbiory \(\displaystyle{ A, B}\), dla których funkcji \(\displaystyle{ A \to 2}\) i \(\displaystyle{ B \to 2}\) jest tyle samo.

Uuu, to brzmi super . Napisałbyś coś więcej?

[Santiago A]

Jak powszechnie wiadomo, każdą injekcję pomiędzy skończonymi zbiorami \(\displaystyle{ A \to B}\) można podnieść do injekcji \(\displaystyle{ 2^A \to 2^B}\), czyli \(\displaystyle{ 2^A \le 2^B}\). Łatwo pokazać, że injekcji odwrotnej nie ma, to znaczy ostra nierówność \(\displaystyle{ 2^A < 2^B}\) jest prawdziwa.

Jeżeli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są nieskończone, mamy tylko \(\displaystyle{ 2^A \le 2^B}\). Zmieńmy notację na jakąś normalniejszą, to jest alfabet grecki. Problem w tym, że Easton pokazał forcingiem prawie pół wieku temu dla regularnych l. kardynalnych \(\displaystyle{ \kappa}\), że jedynymi ograniczeniami na \(\displaystyle{ 2^\kappa}\) są: \(\displaystyle{ \kappa < \textrm{cf } 2^\kappa}\) oraz jeśli \(\displaystyle{ \kappa < \lambda}\), to \(\displaystyle{ 2^\kappa \le 2^\lambda}\).

Z hipotezą (uogólnioną) continuum możemy jednak i tutaj zamienić \(\displaystyle{ \le}\) na \(\displaystyle{ <}\).