Lista ciekawych tricków

[Spektralny]

Pomyślałem, że może warto byłoby stworzyć tutaj listę ciekawych tricków matematycznych, czyli technik które w błyskotliwy sposób wykorzystują znane twierdzenia bądź są błyskotliwe same w sobie. Przy czym przez trick rozumiem technikę, metodę, pomysł który można zastosować także w innych przypadkach niż ten, który chcemy zaprezentować.

Jako przykład podam trick zaprezentowany dziś przez G. Edgara . Myślę, że najlepiej będzie prezentować takie tricki na przykładach. Mam też sugestię by jeden post zawierał tylko jeden trick.

Oto wspominiany wyżej przykład. Załóżmy, że \(\displaystyle{ f,g\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}}\) są takimi funkcjami całkowalnymi w sensie Lebesgue'a, że

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}f(x)\,\mbox{d}x = 1 = \int_{\mathbb{R}}g(x)\,\mbox{d}x.}\)

Pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ \lambda\in (0,1)}\) istnieje taki zbiór mierzalny \(\displaystyle{ E}\), że

\(\displaystyle{ \int_{E}f(x)\,\mbox{d}x = \lambda =\int_{E}g(x)\,\mbox{d}x.}\)

Trick G. Edgara:    

Zdefiniujmy miarę wektorową \(\displaystyle{ m}\) o wartościach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) wzorem

\(\displaystyle{ m(E) = \left( \int_{E}f(x)\,\mbox{d}x, \int_{E}g(x)\,\mbox{d}x\right)}\)

gdzie \(\displaystyle{ E\subseteq\mathbb{R}}\) zbiór mierzalny. Z

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lapunowa

wynika, że obraz miary \(\displaystyle{ m}\) jest wypukłym podzbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Oczywiście \(\displaystyle{ m(\varnothing) = (0,0)}\) oraz z założenia \(\displaystyle{ m(\mathbb{R}) = (1,1)}\). Z wypukłości, dla każdego \(\displaystyle{ \lambda\in (0,1)}\) istnieje taki zbiór \(\displaystyle{ E}\), że \(\displaystyle{ m(E)=(\lambda,\lambda).\;\square}\)

Myślę, że taka lista wyjdzie z pożytkiem dla nas wszystkich.

[szw1710]

Naprawdę śliczne. To może coś mniejszego kalibru, aczkolwiek związane z twierdzeniem Steinhausa: jeśli \(\displaystyle{ A\subset\RR}\) jest zbiorem o dodatniej mierze Lebesgue'a, to istnieją \(\displaystyle{ a,b\in A}\) takie, że \(\displaystyle{ a-b}\) jest liczbą wymierną. Rozwiązanie zadanka zaprezentowałem tu: https://www.matematyka.pl/252528.htm, ale pozwolę sobie powtórzyć.

Ukryta treść:    

Na mocy twierdzenia Steinhausa zbiór \(\displaystyle{ A-A=\{a-b\,:\,a,b\in A\}}\) ma niepuste wnętrze, czyli zawiera przedział. W każdym przedziale istnieje liczba wymierna. Tak więc istnieje \(\displaystyle{ w\in \QQ\times(A-A)}\). A zatem istnieją \(\displaystyle{ a,b\in A}\) takie, że \(\displaystyle{ a-b=w}\).

Żeby było ciekawiej, teza twierdzenia Steinhausa zachodzi też dla niektórych zbiorów miary zero. Np. dla trójkowego zbioru Cantora mamy \(\displaystyle{ C-C=[-1,1]}\).

[Everard]

Na blogu Terrence'a Tao można znaleźć ciekawy trik dotyczący dowodzenia silniejszych nierówności na podstawie ekstremalnych sytuacji w słabszych nierównościach. Pełny post , ja zaprezentuję jedynie bardzo ładny i szybki dowód nierówności Cauchy'ego Schwarza przy pomocy tego triku.

Ukryta treść:    

Chcielibyśmy udowodnić, że \(\displaystyle{ |\langle x,y\rangle|\le \|x\|\|y\|.}\) Zazwyczaj robi się to poprzez rozważanie \(\displaystyle{ x-ty}\) i dobieranie odpowiedniego \(\displaystyle{ t}\), co jednak jest metodą dość trikową i można by powiedzieć sztuczną. Oczywistym krokiem wydaje się próba wykorzystania nierówności
\(\displaystyle{ \|x-y\|^2\ge 0,}\)
która jednak po rozszerzeniu daje jedynie nierówność
\(\displaystyle{ Re\langle x,y\rangle \le \frac12\|x\|^2+\frac12\|y\|^2.}\)
Ale zauważmy teraz, że jeżeli zastosujemy podstawienie \(\displaystyle{ x\mapsto e^{i\theta}x}\), prawa strona się nie zmieni, ale lewa tak. Dobierając odpowiednie \(\displaystyle{ \theta}\), doprowadzamy zatem do nierówności
\(\displaystyle{ |\langle x,y\rangle|\le \frac12\|x\|^2+\frac12\|y\|^2.}\)
Teraz, jeżeli podstawimy \(\displaystyle{ x\mapsto \lambda x,y\mapsto\frac1\lambda y,}\) nie zmieni to lewej strony, ale zmieni prawą. Otrzymamy
\(\displaystyle{ |\langle x,y\rangle|\le \frac{\lambda^2}2\|x\|^2+\frac1{2\lambda^2}\|y\|^2.}\)
\(\displaystyle{ \lambda}\) jest kompletnie dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą, więc możemy ją dobrać tak, by zminimalizować prawą stronę. Chwila refleksji prowadzi nas do wniosku że dobrą wartością będzie \(\displaystyle{ \lambda=\sqrt{\frac{\|y\|}{\|x\|}}}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ |\langle x,y\rangle|\le \|x\|\|y\|.}\)

W podobny sposób można radzić sobie z wszelkimi nierównościami w których podstawianie różnych parametrów zmienia strony nierówności 'w niesymetryczny sposób'. W poście Terry'ego znajduje się więcej zastosowań.

Edit: W nawiązaniu do posta szw1710, da się konstruować zbiory typu \(\displaystyle{ B= \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{k^n}\colon a_n\in A \right\} , A\subset \left\{ 0,...,k-1 \right\}}\) o różnych patologicznych własnościach z cyklu \(\displaystyle{ B+B}\) ma puste wnętrze, ale \(\displaystyle{ B-B}\) jest całym przedziałem \(\displaystyle{ \left[ -1,1 \right]}\) przy różnych dość ogólnych założeniach na zbiór \(\displaystyle{ A}\). Oczywiście sam zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma puste wnętrze ilekroć \(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem właściwym zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,...,k-1 \right\}}\). Wydaje mi się że różnego rodzaju konstrukcje są omówione w książce Counterexamples in Probability and Real Analysis, G.L. Wise, E.B. Hall.

[szw1710]

Jest też fajna praca Nikodema i Palesa Minkowski sums of Cantor-type sets, Colloq. Math. 119 (2010), 95-108, doi:10.4064/cm119-1-5

[Janusz Tracz]

Może nie jest to zadanie najambitniejsze ale lubię ten trik w tej postaci

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{x}= \lim_{ t \to 0 } \left( \lim_{ x \to 0} \frac{\sin \left( x+t \right) -\sin t}{x} \right) =
\lim_{t \to 0} \sin 't= \lim_{ t \to 0 } \cos t=1}\)

[Kaf]

Ten dowód jest trochę oszukany, bo zazwyczaj wzór na pochodną sinusa wyprowadza się właśnie dzięki tej granicy.

[Santiago A]

Nie trzeba. Niech

\(\displaystyle{ \exp x := \sum_{k \ge 0} \frac {x^k}{k!}}\).

Szereg jest zbieżny nie tylko dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \mathbb R}\), ale też zespolonych argumentów.Zdefiniujmy \(\displaystyle{ \sin x := \Im \exp ix}\), \(\displaystyle{ \cos x := \Re \exp ix}\). Łatwo sprawdzić, że wtedy \(\displaystyle{ \sin'x = \cos x}\), pozostaje tylko uzasadnić, że to są dokładnie te funkcje, które już znamy z trygonometrii. Można się odwołać do tego, że \(\displaystyle{ \exp ix}\) leży na okręgu jednostkowym, jako że

\(\displaystyle{ |\exp ix| = \exp ix \cdot \overline{\exp ix} = \exp ix \cdot \exp \overline{ix} = \exp{ix-ix} = 1}\).

Zakładam, że znamy prawo \(\displaystyle{ \exp x+y = \exp x \exp y}\).

[Kaf]

Jasne, że nie trzeba, tylko większości ludzi nie takie podejście jest prezentowane, albo jest ono prezentowane później, często w ramach ciekawostki. Dlatego napisałem "zazwyczaj".

[Jakub Gurak]

Jeśli mamy zdanie:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in X} \left( p _{1} \Rightarrow p_{2}\right)}\)

To jest to dla mnie niezbyt intuicyjna postać i gdy się ona pojawia można mieć trudności ze zrozumieniem wypowiedzi logicznej. Ale ja już potrafię sobie z tym poradzić, przeformułowując:

\(\displaystyle{ x\in X \Rightarrow \left( p _{1} \Rightarrow p_{2}\right)}\)

A to na podstawie prawa logicznego: \(\displaystyle{ \left( r _{1} \Rightarrow \left( r_{2} \Rightarrow r_{3}\right) \right) \Longleftrightarrow \left( r _{1} \wedge r _{2} \Rightarrow r _{3}\right)}\) jest równoważne:

\(\displaystyle{ \left( x\in X \wedge p_{1}\right) \Rightarrow p_{2}}\)

I mam dużo bardziej naturalną postać, gdzie założenia są połączone spójnikiem "i".

Ogólniej, zwijanie kwantyfikatora 'dla każdego' jest dla mnie czymś powszechnym i ułatwiającym. Dla przykładu, jeśli mamy aksjomat pary teorii mnogości:

Dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\) istnieje zbiór \(\displaystyle{ \left\{ A, B\right\}}\), tzn. zbiór którego elementami są dokładnie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

Więc aksjomat ten mówi, że jeśli mamy zbiory \(\displaystyle{ A, B}\) to możemy utworzyć zbiór \(\displaystyle{ \left\{ A, B\right\}}\).
Jak widać zwijanie kwantyfikatorów pozwoliło wyjaśnić temat niesłychanie prosto.

[Jan Kraszewski]

Jeśli mamy zdanie:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in X} \left( p _{1} \Rightarrow p_{2}\right)}\)

To jest to dla mnie niezbyt intuicyjna postać i gdy się ona pojawia można mieć trudności ze zrozumieniem wypowiedzi logicznej. Ale ja już potrafię sobie z tym poradzić, przeformułowując:

\(\displaystyle{ x\in X \Rightarrow \left( p _{1} \Rightarrow p_{2}\right)}\)

A to na podstawie prawa logicznego: \(\displaystyle{ \left( r _{1} \Rightarrow \left( r_{2} \Rightarrow r_{3}\right) \right) \Longleftrightarrow \left( r _{1} \wedge r _{2} \Rightarrow r _{3}\right)}\) jest równoważne:

\(\displaystyle{ \left( x\in X \wedge p_{1}\right) \Rightarrow p_{2}}\)

I mam dużo bardziej naturalną postać, gdzie założenia są połączone spójnikiem "i".

Jakkolwiek wiem, o co Ci chodzi, to od strony formalnej nie wygląda to dobrze.

Ogólniej, zwijanie kwantyfikatora 'dla każdego' jest dla mnie czymś powszechnym i ułatwiającym. Dla przykładu, jeśli mamy aksjomat pary teorii mnogości:

Dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\) istnieje zbiór \(\displaystyle{ \left\{ A, B\right\}}\), tzn. zbiór którego elementami są dokładnie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

Więc aksjomat ten mówi, że jeśli mamy zbiory \(\displaystyle{ A, B}\) to możemy utworzyć zbiór \(\displaystyle{ \left\{ A, B\right\}}\).
Jak widać zwijanie kwantyfikatorów pozwoliło wyjaśnić temat niesłychanie prosto.

A tego, przyznam się, nie rozumiem.

JK

[Jakub Gurak]

Chciałbym teraz ( wtedy pokazałem swoje trudności z logiką), pokazać, że słynny dowód twierdzenia Cantora, że dowolny zbiór jest mniej liczny niż zbiór jego wszystkich podzbiorów, jest w gruncie rzeczy rozumowaniem przekątniowym. Nie każdy to rozumie, co ma jedno do drugiego, ja na przykład nie od razu to rozumiałem.

Omówimy to na przykładzie, że: \(\displaystyle{ \left| \NN\right| < \left| P\left( \NN\right)\right|}\). Zacznijmy od ilustracji ( ostatnio np. powstrzymałem się od zrobienia rysunku, co przysporzyło wiele zachodu, więc łatwiej będzie opisać problem mając rysunek):


Czyli przypuszczamy że zbiory \(\displaystyle{ \NN}\) i \(\displaystyle{ P\left( \NN\right)}\) są równoliczne, czyli mamy bijekcję \(\displaystyle{ f}\) z \(\displaystyle{ \NN}\) do \(\displaystyle{ P\left( \NN\right)}\). Czyli że wszystkie podzbiory \(\displaystyle{ \NN}\) dadzą się ustawić w ciąg \(\displaystyle{ f_{0},f_{1},\ldots}\). Na naszym rysunku kolejne wiersze oznaczają kolejne podzbiory, a podkreślane liczby to dokładnie te elementy które do nich należą.
I teraz w dowodzie twierdzenia Cantora pojawia się tajemniczy zbiór:

\(\displaystyle{ C=\left\{ n\in\NN \biggl| \ \ n\not\in f\left( n\right) \right\}}\)

Spróbujmy prześledzić działanie tego zbioru:
\(\displaystyle{ 0\in C}\) ale to ma miejsce dokładnie wtedy gdy \(\displaystyle{ 0}\) nie należy do \(\displaystyle{ f \left( 0\right)}\), czyli patrzymy na zerowy wiersz i na pozycję \(\displaystyle{ 0}\), ponieważ \(\displaystyle{ 0}\) jest tam podkreślone, czyli jest w tym zbiorze, więc \(\displaystyle{ 0\not\in C}\).
\(\displaystyle{ 1\in C}\) ale to się dzieje dokładnie wtedy gdy \(\displaystyle{ 1}\) nie należy do \(\displaystyle{ f \left( 1\right)}\), czyli patrzymy na kolejny wiersz i na pozycję \(\displaystyle{ 1}\), czyli patrzymy na kolejne pole na przekątnej, ponieważ tam \(\displaystyle{ 1}\) jest podkreślone, czyli jest w tym zbiorze \(\displaystyle{ f_{1}}\), więc w naszym zbiorze \(\displaystyle{ C}\) go nie będzie
Aby sprawdzić czy \(\displaystyle{ 2}\) jest elementem \(\displaystyle{ C}\), patrzymy na kolejne pole na przekątnej. Ponieważ tam \(\displaystyle{ 2}\) jest podkreślone, to w naszym zbiorze \(\displaystyle{ 2}\) nie będzie
Aby sprawdzić czy \(\displaystyle{ 3}\) jest elementem \(\displaystyle{ C}\), patrzymy na kolejne pole na przekątnej. Ponieważ tam \(\displaystyle{ 3}\) nie jest podkreślone, to w naszym zbiorze \(\displaystyle{ 3}\) tym razem będzie.
Itd. ... W ten sposób tworzymy podzbiór \(\displaystyle{ \NN}\), który nie występuje w ciągu \(\displaystyle{ f_{n}}\)

Istotnie, ten podzbiór \(\displaystyle{ C}\) nie może być równy \(\displaystyle{ f_{0}}\), bo \(\displaystyle{ 0\in f_{0}}\), a \(\displaystyle{ 0\not\in C}\), a więc te zbiory są różne.
Nie może być on równy \(\displaystyle{ f_{1}}\), bo \(\displaystyle{ 1}\) jest w \(\displaystyle{ f_{1}}\), a \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ C}\) nie ma, a więc te zbiory są różne.
Nie może być on równy \(\displaystyle{ f_{2}}\), bo \(\displaystyle{ 2}\) jest w \(\displaystyle{ f_{2}}\), a \(\displaystyle{ 2}\) w \(\displaystyle{ C}\) nie ma. Nie może być on równy \(\displaystyle{ f_{3}}\), bo \(\displaystyle{ 3}\) nie należy do \(\displaystyle{ f_{3}}\), a \(\displaystyle{ 3}\) jest elementem \(\displaystyle{ C}\).

Nie może być on równy żadnemu zbiorowi \(\displaystyle{ f_{n}}\), bo w \(\displaystyle{ n}\)-tym polu na przekątnej z definicji zbioru \(\displaystyle{ C}\):

\(\displaystyle{ n\in f_{n} \Longleftrightarrow n\not\in C}\)

Ponieważ podzbiór \(\displaystyle{ C}\) jest różny od każdego zbioru \(\displaystyle{ f_{n}}\) z tego ciągu, więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie może być na \(\displaystyle{ P\left( \NN\right)}\).

[bartek118]

Trikowy sposób zastosowania reguły de l'Hospitala. Przypuśćmy, że mamy różniczkowalną funkcję taką, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{f'(x)}{x} + f(x) = 0}\). Pokażemy, że wówczas \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) = 0}\). Mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)e^{x^2 / 2}}{e^{x^2 / 2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{f'(x) e^{x^2 / 2} + f(x) xe^{x^2 / 2}}{xe^{x^2 / 2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{f'(x)}{x} + f(x) = 0.}\)

Ogólnie, fajnie to działa, gdy zrobimy bardzo ogólny rachunek
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)g(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty} \frac{f'(x)g(x) + f(x)g'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to\infty} \frac{f'(x) g(x)}{g'(x)} + f(x)}\)
Fajne wnioski można z tego wyciągnąć; wystarczy jedynie wiedzieć, że \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są różniczkowalne i \(\displaystyle{ g(x) \to \infty}\) przy \(\displaystyle{ x\to\infty}\).

[a4karo]

Twierdzenie Cantora można udowodnić w języku zrozumiałym dla licealisty:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolnym zbiorem. Podzbiory \(\displaystyle{ A}\) nazwiemy zespołami.
Przypuśćmy, że każdemu zespołowi udało się przyporządkować w sposób jednoznaczny jego nadzorcę (czyli element zbioru \(\displaystyle{ A}\)) i każdy jest nadzorcą jakiegoś zespołu. Nadzorca może być członkiem zespołu, który nadzoruje (takiego nadzorcę nazwiemy liderem), albo nie (wtedy nazwiemy go kierownikiem).

Popatrzmy na zespół złożony ze wszystkich kierowników. Jego nadzorca nie może być liderem (bo wtedy byłby kierownikiem), ani kierownikiem (bo wtedy byłby liderem).

[Jakub Gurak]

Fajne.

Spróbuję teraz udowodnić twierdzenie Cantora-Bernsteina , przy pomocy lematu Banacha, gdyż jest to ciekawy trik i bardzo użyteczne twierdzenie.

Lemat Banacha mówi, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) oraz funkcji \(\displaystyle{ f:A \rightarrow B, g:B \rightarrow A}\) istnieją rozłączne zbiory \(\displaystyle{ A_{1},A_{2} \subset A}\) wzajemnie uzupełniające się do \(\displaystyle{ A}\) ( czyli że \(\displaystyle{ A_{1} \cup A_{2}=A}\)) jak i istnieją rozłączne zbiory \(\displaystyle{ B_{1},B_{2} \subset B}\) wzajemnie uzupełniające się do \(\displaystyle{ B}\) oraz takie że \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A_{1}\right) =B_{1}}\) i \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{g}\left( B_{2}\right) =A_{2}}\).

Oto ilustracja:

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/4B93/

Możemy użyć tego ciekawego twierdzenia, aby w prosty sposób udowodnić twierdzenie Cantora-Bernsteina Oto dowód:

Niech \(\displaystyle{ A,B}\) będą dowolnymi zbiorami, a \(\displaystyle{ f: A \rightarrow B, \ g: B \rightarrow A}\) funkcjami różnowartościowymi. Znajdziemy bijekcję z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\).

Na mocy lematu Banacha istnieją rozłączne zbiory \(\displaystyle{ A_{1}A_{2} \subset A}\) wzajemnie uzupełniające się do \(\displaystyle{ A}\) jak i istnieją rozłączne zbiory \(\displaystyle{ B_{1},B_{2} \subset B}\) wzajemnie uzupełniające się do \(\displaystyle{ B}\) oraz takie że \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A_{1}\right) =B_{1}}\) i \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{g}\left( B_{2}\right) =A_{2}}\). Zdefiniujmy \(\displaystyle{ h}\) jako:

\(\displaystyle{ h= \left[ f \cap \left( A_{1} \times B\right) \right] \cup \left[ g ^{-1} \cap \left( A_{2} \times B\right)\right]}\).

Niewątpliwie \(\displaystyle{ h \subset A \times B}\) jako suma dwóch podzbiorów \(\displaystyle{ A \times B}\), a ponieważ \(\displaystyle{ g}\) jest różnowartościowa, to relacja \(\displaystyle{ g^{-1}}\) jest funkcją częściową. Ponieważ każdy podzbiór funkcji jest funkcją, więc relacja \(\displaystyle{ h}\) jako suma dwóch funkcji ( funkcji \(\displaystyle{ f}\) zawężonej do \(\displaystyle{ A_{1}}\) i funkcji \(\displaystyle{ g^{-1}}\) zawężonej do \(\displaystyle{ A_{2}}\)) na rozłącznych zbiorach \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}}\) jest funkcją. Ponieważ te zbiory sumują się do \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ h: A \rightarrow B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{g}\left( B_{2}\right) =A_{2}}\), więc \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{h}\left( A_{2}\right) =B_{2}}\). a równość \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A_{1}\right) =B_{1}}\) daje \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A_{1}\right) =B_{1}}\). Łatwo teraz pokazać że \(\displaystyle{ h}\) jest różnowartościowa i 'na' zbiór \(\displaystyle{ B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f,g}\) są różnowartościowa, więc \(\displaystyle{ g ^{-1}}\) jest różnowartościowa, więc zawężone funkcje \(\displaystyle{ f}\) do zbioru \(\displaystyle{ A_{1}}\) i \(\displaystyle{ g ^{-1}}\) do zbioru \(\displaystyle{ A_{2}}\) będą różnowartościowe, więc funkcja \(\displaystyle{ h}\) jako suma takich funkcji ( gdzie \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A_{1}\right) =B_{1} \hbox { i } \stackrel{ \rightarrow }{h}\left( A_{2}\right) =B_{2}}\), a więc o rozłącznych odpowiednich obrazach)- \(\displaystyle{ h}\) będzie różnowartościowa. Aby pokazać że \(\displaystyle{ h}\) jest 'na' zbiór \(\displaystyle{ B}\), to:

\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A\right) = \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A _{1} \cup A _{2} \right)= \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A_{1}\right) \cup \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A_{2}\right)=B_{1}\cup B_{2}=B}\),

czyli \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A\right) =B}\), czyli \(\displaystyle{ h}\) jest 'na' \(\displaystyle{ B}\), a więc jest bijekcją z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\), co kończy dowód.\(\displaystyle{ \square}\)

[Jakub Gurak]

Mam pomysł, jak ładnie uzasadnić, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb {X}}\) jest skończonym zbiorem zbiorów skończonych to \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb {X}}\) jest zbiorem skończonym.

Każdy, bez trudu uzasadni, że suma dwóch zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym ( przez indukcję np. ze względu na ilość elementów drugiego zbioru). Dowód ogólniejszy (ten z początku), łatwo przeprowadzimy , gdy skorzystamy z prawa, że

dla dowolnych rodzin zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb {A, B}}\) mamy ( ta równość nie ma swojego odpowiednika dla iloczynu):

\(\displaystyle{ \bigcup \mathbb {\left( A \cup B\right) }=\bigcup \mathbb {A }\cup \bigcup \mathbb {B }}\).

Dowód prowadzimy indukcyjnie, ze względu na ilość zbiorów w rodzinie \(\displaystyle{ \mathbb {X}}\).

Obojętnie, czy zbiór pusty uważamy za skończony czy nie, w obydwu przypadkach baza indukcji jest spełniona ( łatwo to sprawdzić).

Teraz weźmy dowolne \(\displaystyle{ n\in\NN}\) i przypuśćmy, że dla dowolnej rodziny \(\displaystyle{ n}\) zbiorów skończonych suma tej rodziny jest zbiorem skończonym. Pokażemy, że dla dowolnej rodziny \(\displaystyle{ (n+1)}\) zbiorów skończonych- suma tej rodziny jest zbiorem skończonym. Weźmy dowolną taką rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb {X}}\). Ustalmy \(\displaystyle{ C\in \mathbb {X}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \mathbb {X}=\left( \mathbb {X} \setminus \left\{ C\right\}\right) \cup \left\{ C\right\}}\) i rodzina \(\displaystyle{ \left( \mathbb {X} \setminus \left\{ C\right\}\right)}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-elementowa. A więc:

\(\displaystyle{ \bigcup \mathbb {X}= \bigcup \biggl ( \left( \mathbb {X} \setminus \left\{ C\right\}\right) \cup \left\{ C\right\}\biggr )= \bigcup \left( \mathbb {X} \setminus \left\{ C\right\}\right)\cup \bigcup \left\{ C\right\}=\Biggl (\bigcup \left( \mathbb {X} \setminus \left\{ C\right\}\right)\Biggr) \cup C}\)

Gdzie zauważamy że rodzina \(\displaystyle{ \left( \mathbb {X} \setminus \left\{ C\right\}\right)}\) składa się z \(\displaystyle{ n}\) zbiorów skończonych, więc na mocy założenia indukcyjnego suma takiej rodziny jest zbiorem skończonym i w efekcie \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb {X}}\) jako suma dwóch zbiorów- takiego zbioru skończonego i skończonego zbioru \(\displaystyle{ C}\) ( bo \(\displaystyle{ C\in \mathbb {X}}\)) jest zbiorem skończonym.

Na mocy zasady indukcji twierdzenie jest udowodnione \(\displaystyle{ \square}\).