Zbieżność szeregu, ciągłość funkcji i różniczkowalność

[michcior]

Cześć, wakacje wakacjami, ale zadanka też są, więc jeśli ktoś mógby mi pomóc, byłbym wdzięczny.
A więc dla \(\displaystyle{ x>0}\) dany jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \left( \arctan nx- \frac{ \pi }{2} \right)}\) Wykazać jego zbieżność, czy funkcja \(\displaystyle{ f\left( x\right)=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \left( \arctan nx- \frac{ \pi }{2} \right)}\) jest ciągła dla \(\displaystyle{ x>0}\)? Czy jest różniczkowalna dla \(\displaystyle{ x>0}\)?

Dla \(\displaystyle{ x>0}\) wiemy, że\(\displaystyle{ \arctan x + \arctan 1/x= \pi/2}\) i \(\displaystyle{ \arctan \left( y \right) <y}\) więc\(\displaystyle{ \left| \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \left( \arctan \left(nx \right) - \frac{ \pi }{2} \right) \right| = \left| \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \left( \arctan \frac{1}{nx} \right) \right| \le \frac{1}{ \sqrt{n} } \cdot \frac{1}{nx} \le \frac{1}{n ^{ \frac{101}{100} } }}\) który jest zbieżny, zatem z kryt. Weierstrassa szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \left( \arctan nx- \frac{ \pi }{2} \right)}\) jest zbieżny i i to jednostajnie. Ponadto, wyrazy tego szeregu są funkcjami ciągłymi, zatem z tego oraz z jego jednostajnej zbieżności wynika, że funcja \(\displaystyle{ f \left( x \right)}\) jest ciągła dla \(\displaystyle{ x>0}\). Natomiast co do różniczkowalności to nie mogę znaleźć \(\displaystyle{ x_{o}}\) tże ten szereg jest zbieżny, bo chciałem skorzystać z tw. o różniczkowalności szer. potęgowych, ale w sumie czy tu można je stosować? To nie jest szereg postaci \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n} x^{n}}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \left| \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \left( \arctan \left(nx \right) - \frac{ \pi }{2} \right) \right| = \left| \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \left( \arctan \frac{1}{nx} \right) \right| \le \frac{1}{ \sqrt{n} } \cdot \frac{1}{nx} \le \frac{1}{n ^{ \frac{101}{100} } }}\)

Ta ostatnia nierówność jest dość słaba, gdy ustalisz (nawet dowolnie wielkie, jakie byś sobie tylko chciał) \(\displaystyle{ n}\), a będziesz "jeździć" iksami w pobliżu zera (tj. bardzo małe \(\displaystyle{ x}\) dodatnie).

Nie wiem teraz, jak to poprawić.

[Dasio11]

Wystarczy ostatnią nierówność zastąpić przez

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{nx} \le \frac{1}{\alpha \cdot n \sqrt{n}}}\)

i powiedzieć, że zachodzi dla \(\displaystyle{ x \ge \alpha}\) (gdzie \(\displaystyle{ \alpha > 0}\)), więc szereg jest niemal jednostajnie zbieżny, co wystarczy, żeby suma była ciągła. Jednostajnej zbieżności dla \(\displaystyle{ x > 0}\) nie można natomiast pokazać, bo jej nie ma.

[michcior]

Ok,ta nierownosc rzeczywiście wydawała mi się dziwna, jak zacząłem ja pisać, natomiast co z rozniczkowalnoscia szeregu?