udowodnie nierówności

[jasiuu23]

Witam, miałbym prośbę, o pomoc w udowodnieniu następujących nierówności:
1.\(\displaystyle{ \left|x+y \right|}\) \(\displaystyle{ \le}\) \(\displaystyle{ \left| a\right| + \left| b\right|}\)
2.\(\displaystyle{ \left| \left|a \right|+ \left| \right b| \right|}\) \(\displaystyle{ \le}\) \(\displaystyle{ \left|a-b \right|}\)

z góry dziękuję za pomoc, wskazówki

[Gacuteek]

1. obie strony nierówności \(\displaystyle{ \forall a,b \in R}\) są \(\displaystyle{ \ge 0}\)

dzięki tej własności możesz podnieść obie strony do kwadratu i nierówność zostanie zachowana.

2.Skorzystaj z tego że:

\(\displaystyle{ |c|=|c-d+d| \le |c-d|+|d|}\)

Pozdrawiam

[jasiuu23]

\(\displaystyle{ \left|a+b \right| \le \left| a\right| + \left| b\right|}\), czyli wiadome jest
\(\displaystyle{ \forall a,b \in R}\) obie strony są \(\displaystyle{ \ge 0}\) oki, spox, i dalej

możesz podnieść obie strony do kwadratu i nierówność zostanie zachowana.

no zostanie zachowana, normalnie nie wiadomo byłoby czy znak nierówności się zmienia czy nie, ale chyba nie zostanie udowodniona??

2. \(\displaystyle{ |c|=|c-d+d| \le |c-d|+|d|}\) ta nierówność to aksjomat??
dzięki za powyższe usiłowanie wyjaśnienia

[Gacuteek]

1. Jak to nie zostanie udowodniona?:>

dzięki za powyższe usiłowanie wyjaśnienia

mam przez to rozumieć że niedostatecznie to wyjaśniłem?:P

[jasiuu23]

dokładnie tak , nie widzę po prostu udowodnienia,np.: w pierwszym jak podniosę do kwadratu to wartość bezwzględna zniknie i wyjdzie 0 \(\displaystyle{ \le}\) 0

[Gacuteek]

Ad.1

\(\displaystyle{ \left|a+b \right| \le \left| a\right| + \left| b\right|}\)

\(\displaystyle{ a^{2}+2ab+b^{2} \ge a^{2}+2|a||b|+b^{2}}\)

\(\displaystyle{ ab \le |a||b|}\)

Czyżby to nie jest prawda?