Całki dla smakoszy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Całki dla smakoszy
1. Obliczyć
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1-t^2} \ \dd t}\)
2. Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sqrt{\pi}\Gamma(2x)=2^{2x-1}\Gamma(x)\Gamma\left( x+\frac 1 2\right)}\)
3. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{ \sqrt{e^{2x}-1} } \ \dd x}\)
4. Wykopki z forum: obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}5x \sin(6x) \cos(9x^5) \ \dd x}\)
5. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{\ln^2(2 \cos x)}{\ln^2(2\cos x)+x^2} \ \dd x}\)
6. Wykopki z forum, część druga: obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{1}{a^{-2}-x}\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \ \dd x}\), gdzie \(\displaystyle{ |a|<1}\)
7. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^2}} \ \dd x}\), \(\displaystyle{ n \in \NN}\)
8. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}(1+x)\arctan(x) \log^4(x) \frac{\ \dd x}{\sqrt{x}(1+x^2)}}\)
A całkę nr 5 z Twojego zestawu spróbuję jeszcze dzisiaj policzyć, choć nie sądzę, żeby mi to wyszło.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1-t^2} \ \dd t}\)
2. Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sqrt{\pi}\Gamma(2x)=2^{2x-1}\Gamma(x)\Gamma\left( x+\frac 1 2\right)}\)
3. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{ \sqrt{e^{2x}-1} } \ \dd x}\)
4. Wykopki z forum: obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}5x \sin(6x) \cos(9x^5) \ \dd x}\)
5. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{\ln^2(2 \cos x)}{\ln^2(2\cos x)+x^2} \ \dd x}\)
6. Wykopki z forum, część druga: obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{1}{a^{-2}-x}\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \ \dd x}\), gdzie \(\displaystyle{ |a|<1}\)
7. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^2}} \ \dd x}\), \(\displaystyle{ n \in \NN}\)
8. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}(1+x)\arctan(x) \log^4(x) \frac{\ \dd x}{\sqrt{x}(1+x^2)}}\)
A całkę nr 5 z Twojego zestawu spróbuję jeszcze dzisiaj policzyć, choć nie sądzę, żeby mi to wyszło.
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Całki dla smakoszy
ad 1.
ad 2.
http://mathworld.wolfram.com/LegendreDu ... rmula.html
ad 3.
ad 7
Reszta całek wygląda mi podejrzanie, bez sensownych wyników
Ukryta treść:
![:arrow:](./images/smilies/icon_arrow.gif)
ad 3.
Ukryta treść:
Ukryta treść:
Reszta całek wygląda mi podejrzanie, bez sensownych wyników
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Całki dla smakoszy
Rozwiązanie 5. i 8. widziałem w internecie (a konkretnie na math.stackexchange), ale to było dość złożone, natomiast co do 4. i 6., to nie znalazłem rozwiązania, a nie udało mi się samemu policzyć, więc może lepiej te przykłady 4. i 6. anulować.
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Całki dla smakoszy
\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^n \frac{\sin m x}{x} \, \dd x = \frac{\pi}{2}, \quad m \ge n \;.}\)
Indukcyjnie, sprawdzenie dla \(\displaystyle{ n = 0}\) jest proste.Dowód indukcyjny:
\(\displaystyle{ $\begin{align*} \int_0^{+\infty} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{k + 1} \frac{\sin m x}{x}\, \dd x & =
\int_0^{+\infty} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^k \frac{\sin x \sin m x}{x^2} \, \dd x \\
& = \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^k \frac{\left( \cos (m - 1) x - \cos (m + 1) x \right)}{x^2} \, \dd x \\
&= \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^k \int_{m-1}^{m+1} \frac{\sin y x}{x} \, \dd y \,\dd x \\
& = \frac{1}{2} \int_{m-1}^{m+1} \left( \int_0^{+\infty} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^k \frac{\sin y x}{x} \, \dd x \right) \, \dd y \\
& = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \int_{m-1}^{m+1} \, \dd y = \frac{\pi}{2} \;.
\end{align*}$}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ m \ge k +1}\) to \(\displaystyle{ y \ge m-1 \ge (k+1) - 1 = k}\), co uprawnia nas do skorzystania z założenia indukcyjnego.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Całki dla smakoszy
Ładne!
Ze smutkiem stwierdzam, że nikt się chyba nie zainteresował tymi przykładami, które dałem (faktem jest, że są one wyjątkowo oporne - bardzo nierówny był poziom tych zadań ), więc wrzucę linki do rozwiązań:
5.
8.
i można je uznać za niebyłe.
Ze smutkiem stwierdzam, że nikt się chyba nie zainteresował tymi przykładami, które dałem (faktem jest, że są one wyjątkowo oporne - bardzo nierówny był poziom tych zadań ), więc wrzucę linki do rozwiązań:
5.
8.
i można je uznać za niebyłe.
Całki dla smakoszy
Czyli zostały tylko 4. i 6.?
To wrzucę nowe:
1)
To wrzucę nowe:
1)
\(\displaystyle{ \int_0^{\infty}\frac{\ln x(1-\cos x)}{x^2}\,\dd x}\)
2) rozwiązane
\(\displaystyle{ \int_0^1 \frac{\log (x+1)}{x^3+x}\,\dd x}\)
3) rozwiązane
\(\displaystyle{ \int_0^1 \frac{\dd x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}+2}}\)
4)
\(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{\ln x}{x^2+2x+4}\,\dd x}\)
5) rozwiązane
\(\displaystyle{ \int_0^1\arccos x\ln x\,\dd x}\)
6)
\(\displaystyle{ \int_0^1 \frac{(\frac12 - x)\log (1-x)}{x^2-x+1}\,\dd x}\)
7) rozwiązane
\(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{x\arctan x}{x^4+1}\,\dd x}\)
8)
\(\displaystyle{ \int_{-n}^n\frac{x^2}{e^x+1}\,\dd x}\)
9) rozwiązane
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}\,\dd x}\)
10)
\(\displaystyle{ \int_0^1\frac{\dd x}{\sqrt{1-x}\sqrt[3]{x}\sqrt[6]{9-x}}}\)
11)
\(\displaystyle{ \int_0^1\int_0^1\left\{ \frac{x^k}{y} \right\}\,\dd x\,\dd y}\)
Ostatnio zmieniony 18 sie 2016, o 23:37 przez dec1, łącznie zmieniany 1 raz.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Całki dla smakoszy
Jak widać. Ale proponowałem ich nie robić, bo na tym forum przez lata nikt nie zrobił i ja tez nie znam rozwiązania.
Wkurzyłem się, bo długo robiłem dwa przykłady, by pod koniec odkryć błędy rachunkowe, które wszystko psują. Cóż, mózgu się nie wybiera.
Wkurzyłem się, bo długo robiłem dwa przykłady, by pod koniec odkryć błędy rachunkowe, które wszystko psują. Cóż, mózgu się nie wybiera.
5.:
7.:
9.:
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 21 sty 2011, o 12:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 3 razy