Jak obliczyć granice.

[marcinNykiel]

Witam,
potrzebuje pomocy w obliczeniu granicy gdy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) z wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{2^{n+1}h+3(n+1)}{2^n}}\),
gdzie \(\displaystyle{ h\in\mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ h \ge 0}\).

[AloneAngel]

Rozbij na dwa osobne ułamki najpierw i zajmij się tymi składnikami z osobna.

[marcinNykiel]

czyli \(\displaystyle{ \frac{2^{n+1}h}{2^n}}\) i \(\displaystyle{ \frac{3(n+1)}{2^n}}\)
wtedy ten pierwszy ułamek dziele przez \(\displaystyle{ 2^n}\) więc granica wynosi 2h.
A ten drugi zbiega do zera bo mianownik szybciej rośnie? jak to uzasadnić?

[AloneAngel]

No tak, zbiega drugi do zera. Możesz np. przejść chwilowo na granicę funkcji \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{3x+3}{2^x}}\), którą z reguły de'l Hospitala policzysz i wyjdzie 0. Wówczas skoro ta granica istnieje, to każdy podciąg zbiega do tej granicy, a więc również nasza granica ciągu \(\displaystyle{ \frac{3(n+1)}{2^n}}\) zbiega do zera. Bo stosowanie reguły de'l Hospitala bezpośrednio do ciągu wielu uważa za coś brzydkiego.

[dec1]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{3(n+1)}{2^n}=3\left(\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}\right)}\)

[Straznik Teksasu]

W celu policzenia granicy można wykorzystać twierdzenie nr.6 lub nr.7
https://www.matematyka.pl/152288.htm