Właśnie wtedy, kiedy wszytkiego zapomniałem z matematyki, okazuje się, że jest mi ona potrzebna...
Otóż: Mamy zasób, przy czym tempo jego wyczerpywania się jest wprost proporcjonalne do jego pozostałej ilości; załóżmy, że dane jest wzorem \(\displaystyle{ v\left(x\right)=\frac{x}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ v}\) to jest tempo wyczerpywania się zasobu w jednostkach na sekundę, \(\displaystyle{ x}\) to aktualna pozostała ilość w jednostkach, \(\displaystyle{ b}\) to jakaś stała dana w sekundach.
Pytanie: Jak obliczyć, ile czasu będzie potrzebne na wyczerpanie się \(\displaystyle{ y}\) jednostek zasobu? Ile jednostek zasobu się wyczerpie po \(\displaystyle{ t}\) czasu?
Chodzi mi po głowie, że to jakaś całeczka będzie...
Nie proszę o gotowe rozwiązanie, ale tylko o to, żeby ktoś mi podpowiedział, co powinieniem powtórzyć z materiału.
Dzięki.
Tempo wyczerp. się zasobu wprost proporc. do pozost. ilości
-
Marcgal
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 14 maja 2011, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 6 razy
Tempo wyczerp. się zasobu wprost proporc. do pozost. ilości
Mógłbyś sprawdzić, czy to poprawne rozwiązanie?
Mamy zatem: \(\displaystyle{ x^{\prime}=wx}\), gdzie \(\displaystyle{ w=-\frac1b}\) (minus bo tempo przyrostu jest ujemne).
Podstawiając (mam nadzieję, że ze zrozumieniem) do przykładowego rozwiązania podobnego problemu ze skryptu do analizy mat. z UW ... inf127.pdf końcówka strony 212 i począteczek strony 213, par. Model „narodzin i śmierci” dla wzrostu populacji uzyskamy wynik:
\(\displaystyle{ x\left(t\right)=x_0\mathrm{e}^{w\left(t-t_0\right)}}\)
I po podstawieniu
\(\displaystyle{ x\left(t\right)=\frac{x_0}{\sqrt{\mathrm{e}^{t-t_0}}}}\)
Zgadza się, czy nie?
Mamy zatem: \(\displaystyle{ x^{\prime}=wx}\), gdzie \(\displaystyle{ w=-\frac1b}\) (minus bo tempo przyrostu jest ujemne).
Podstawiając (mam nadzieję, że ze zrozumieniem) do przykładowego rozwiązania podobnego problemu ze skryptu do analizy mat. z UW ... inf127.pdf końcówka strony 212 i począteczek strony 213, par. Model „narodzin i śmierci” dla wzrostu populacji uzyskamy wynik:
\(\displaystyle{ x\left(t\right)=x_0\mathrm{e}^{w\left(t-t_0\right)}}\)
I po podstawieniu
\(\displaystyle{ x\left(t\right)=\frac{x_0}{\sqrt{\mathrm{e}^{t-t_0}}}}\)
Zgadza się, czy nie?
-
Marcgal
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 14 maja 2011, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 6 razy
Tempo wyczerp. się zasobu wprost proporc. do pozost. ilości
Dzięki!
Jeśli można, to czy mógłbym poprosić jeszcze o sprawdzenie rozwiązania następujących bardziej skompikowanych przypadków.
1) Oprócz tego, co powyższe, to jeszcze dodatkowo mamy do czynienia z liniowym w czasie przyrostem lub spadkiem tego zasobu. Tak więc: \(\displaystyle{ x_1^{\prime}\left(t\right)=a_1x_1\left(t\right)+b_1}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1,b_1}\) - stałe.
Rozwiązanie: Tu posiłkowałem się Wolfram Alpha: Wyszło, że podobno \(\displaystyle{ x_1\left(t\right)=\mathrm{c}\mathrm{e}^{at}-\frac ba}\)
Trzeba znaleźć \(\displaystyle{ \mathrm{c}}\). Przy założeniu, że \(\displaystyle{ t_0=0}\) to dla \(\displaystyle{ t=t_0=0}\) ma wyjść \(\displaystyle{ x_1\left(0\right)={x_1}_0}\) Wychodzi że \(\displaystyle{ c_1={x_1}_0+\frac {b_1}{a_1}}\), a więc odpowiedź brzmi:
\(\displaystyle{ x_1\left(t\right)=\left({x_1}_0+\frac {b_1}{a_1}\right)\mathrm{e}^{{a_1}\left(t-t_0\right)}-\frac {b_1}{a_1}}\)
Zgadza się?
2) Są dwa zasoby. Jeden i drugi wyczerpuje się jak powyżej, ale dodatkowo wyczerpywanie się pierwszego uzupełnia drugi z jakąś tam stałą efektywnością (w sensie, ubytek \(\displaystyle{ -\Delta x_1}\) pierwszego zasobu uzupełnia drugi zasób o \(\displaystyle{ \Detla x_2=c_{1,2}\cdot \Delta{x_1}}\)).
No to tak.
Dla zasobu pierwszego już mamy: \(\displaystyle{ x_1\left(t\right)=\left({x_1}_0}+\frac {b_1}{a_1}\right)\mathrm{e}^{a_1\left(t-t_0\right)}-\frac{b_1}{a_1}}\)
Dla zasobu drugiego mamy koszmarek:
\(\displaystyle{ x_2^{\prime}\left(t\right)=a_2x_2\left(t\right)+b_2+c_{1,2}\left({x_1}_0-\left(\left({x_1}_0}+\frac {b_1}{a_1}\right)\mathrm{e}^{a_1\left(t-t_0\right)}-\frac{b_1}{a_1}\right)\right)=\\a_2x_2\left(t\right)+b_2+c_{1,2}\left({x_1}_0+\frac{b_1}{a_1}\right)-c_{1,2}\left({x_1}_0+\frac{b_1}{a_1}\right)\mathrm{e}^{a_1t}}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ \alpha=a_2\\\beta=b_2+c_{1,2}\left({x_1}_0+\frac{b_1}{a_1}\right)\\\gamma=c_{1,2}\left({x_1}_0+\frac{b_1}{a_1}\right)\\\delta=a_1}\)
I po wrzuceniu do Wolfram Alpha równania \(\displaystyle{ x_2^{\prime}\left(t\right)=\alpha\cdot x_2\left(t\right)+\beta-\gamma\mathrm{e}^{\delta t}}\) (dopiero w tej postaci Wolfram Alpha daje sensowny wynik) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x_2\left(t\right)=-\frac{\beta}{\alpha}+\mathrm{c}\mathrm{e}^{\alpha t}+\frac{\gamma \mathrm{e}^{\delta t}}{\alpha-\delta}}\)
Jak wyżej, dla \(\displaystyle{ t=0}\) ma wyjść \(\displaystyle{ x_2\left(t\right)={x_2}_0}\), a więc \(\displaystyle{ -\frac{\beta}{\alpha}+\mathrm{c}+\frac{\gamma}{\alpha-\delta}={x_2}_0}\) skąd \(\displaystyle{ \mathrm{c}={x_2}_0+\frac{\beta}{\alpha}-\frac{\gamma}{\alpha-\delta}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ x_2\left(t\right)=\left({x_2}_0+\frac{\beta}{\alpha}-\frac{\gamma}{\alpha-\delta}\right)\mathrm{e}^{\alpha \left(t-t_0\right)}-\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\gamma \mathrm{e}^{\delta \left(t-t_0\right)}}{\alpha-\delta}}\)
A to jest jakiś koszmarek, ale możliwy do obliczenia bez większych problemów.
Wszystko dobrze?
Jeśli można, to czy mógłbym poprosić jeszcze o sprawdzenie rozwiązania następujących bardziej skompikowanych przypadków.
1) Oprócz tego, co powyższe, to jeszcze dodatkowo mamy do czynienia z liniowym w czasie przyrostem lub spadkiem tego zasobu. Tak więc: \(\displaystyle{ x_1^{\prime}\left(t\right)=a_1x_1\left(t\right)+b_1}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1,b_1}\) - stałe.
Rozwiązanie: Tu posiłkowałem się Wolfram Alpha:
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%3Dax%2BbTrzeba znaleźć \(\displaystyle{ \mathrm{c}}\). Przy założeniu, że \(\displaystyle{ t_0=0}\) to dla \(\displaystyle{ t=t_0=0}\) ma wyjść \(\displaystyle{ x_1\left(0\right)={x_1}_0}\) Wychodzi że \(\displaystyle{ c_1={x_1}_0+\frac {b_1}{a_1}}\), a więc odpowiedź brzmi:
\(\displaystyle{ x_1\left(t\right)=\left({x_1}_0+\frac {b_1}{a_1}\right)\mathrm{e}^{{a_1}\left(t-t_0\right)}-\frac {b_1}{a_1}}\)
Zgadza się?
2) Są dwa zasoby. Jeden i drugi wyczerpuje się jak powyżej, ale dodatkowo wyczerpywanie się pierwszego uzupełnia drugi z jakąś tam stałą efektywnością (w sensie, ubytek \(\displaystyle{ -\Delta x_1}\) pierwszego zasobu uzupełnia drugi zasób o \(\displaystyle{ \Detla x_2=c_{1,2}\cdot \Delta{x_1}}\)).
No to tak.
Dla zasobu pierwszego już mamy: \(\displaystyle{ x_1\left(t\right)=\left({x_1}_0}+\frac {b_1}{a_1}\right)\mathrm{e}^{a_1\left(t-t_0\right)}-\frac{b_1}{a_1}}\)
Dla zasobu drugiego mamy koszmarek:
\(\displaystyle{ x_2^{\prime}\left(t\right)=a_2x_2\left(t\right)+b_2+c_{1,2}\left({x_1}_0-\left(\left({x_1}_0}+\frac {b_1}{a_1}\right)\mathrm{e}^{a_1\left(t-t_0\right)}-\frac{b_1}{a_1}\right)\right)=\\a_2x_2\left(t\right)+b_2+c_{1,2}\left({x_1}_0+\frac{b_1}{a_1}\right)-c_{1,2}\left({x_1}_0+\frac{b_1}{a_1}\right)\mathrm{e}^{a_1t}}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ \alpha=a_2\\\beta=b_2+c_{1,2}\left({x_1}_0+\frac{b_1}{a_1}\right)\\\gamma=c_{1,2}\left({x_1}_0+\frac{b_1}{a_1}\right)\\\delta=a_1}\)
I po wrzuceniu do Wolfram Alpha równania \(\displaystyle{ x_2^{\prime}\left(t\right)=\alpha\cdot x_2\left(t\right)+\beta-\gamma\mathrm{e}^{\delta t}}\)
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%28t%29%3Dalpha*x%28t%29%2Bbeta-gamma*E%5E%28delta*t%29&rawformassumption=%7B%22C%22,+%22gamma%22%7D+-%3E+%7B%22Variable%22%7D\(\displaystyle{ x_2\left(t\right)=-\frac{\beta}{\alpha}+\mathrm{c}\mathrm{e}^{\alpha t}+\frac{\gamma \mathrm{e}^{\delta t}}{\alpha-\delta}}\)
Jak wyżej, dla \(\displaystyle{ t=0}\) ma wyjść \(\displaystyle{ x_2\left(t\right)={x_2}_0}\), a więc \(\displaystyle{ -\frac{\beta}{\alpha}+\mathrm{c}+\frac{\gamma}{\alpha-\delta}={x_2}_0}\) skąd \(\displaystyle{ \mathrm{c}={x_2}_0+\frac{\beta}{\alpha}-\frac{\gamma}{\alpha-\delta}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ x_2\left(t\right)=\left({x_2}_0+\frac{\beta}{\alpha}-\frac{\gamma}{\alpha-\delta}\right)\mathrm{e}^{\alpha \left(t-t_0\right)}-\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\gamma \mathrm{e}^{\delta \left(t-t_0\right)}}{\alpha-\delta}}\)
A to jest jakiś koszmarek, ale możliwy do obliczenia bez większych problemów.
Wszystko dobrze?