Dobry,
w dowodzie Euler'a traktującym o sumie szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}\)
funkcja
\(\displaystyle{ \sin x}\) (albo
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\)) zostaje przedstawiona na dwa różne sposoby. Pierwszy to szereg Taylora, drugi to pewien specyficzny nieskończony iloczyn:
\(\displaystyle{ \sin x=x\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\ldots=x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)}\)
Właściwy problem mam w tym, że nie widzę, dlaczego tak skonstruowana funkcja na podstawie miejsc zerowych funkcji
\(\displaystyle{ \sin x}\) jest dokładnie taka sama jak
\(\displaystyle{ \sin x}\), skoro, na przykładzie wielomianu, funkcja
\(\displaystyle{ f(x)}\) i
\(\displaystyle{ \frac{1}{6}f(x)}\) ewidentnie nie są takie same. Czy może ten sinus to przypadek? Z tego co przeczytałem, to Euler polegał na swojej intuicji i miał trochę szczęścia w tym dowodzie, że w ogóle da się w ten sposób przedstawić sinusa, bo nie było wtedy jeszcze twierdzenia o rozkładzie na czynniki Weierstrass'a. Próbowałem odpowiedzi szukać też w tym twierdzeniu, ale z racji tego, że pod ręką mam tylko Fichtenholz'a oraz Rudin'a i u drugiego Pana twierdzenie to jest pod koniec książki, a ja jestem prawie na jej początku, to ciężko mi było cokolwiek wydobyć (u Fichtenholz'a nie znalazłem tego twierdzenia, może przeoczyłem). Byłby ktoś tak miły, żeby mi to wytłumaczyć?
