Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Suri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 17 maja 2016, o 20:47
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Post autor: Suri »

Cześć,
mam pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ 1+I}\) jest zawarty w grupie \(\displaystyle{ R^{*}}\) i jest jej podgrupą. \(\displaystyle{ I\subset R}\) jest ideałem, którego wszystkie elementy są nilpotentne. \(\displaystyle{ R^{*}}\) jest to grupa elementów odwracalnych z działaniem mnożenia.
hannahannah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 30 sty 2015, o 09:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ba
Pomógł: 15 razy

Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Post autor: hannahannah »

Weźmy element należący do \(\displaystyle{ 1 +I}\), czyli postaci \(\displaystyle{ 1 + i}\) dla \(\displaystyle{ i\in I}\). Wtedy isntnieje \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) takie, że \(\displaystyle{ i^n=(-i)^n=0}\) skad \(\displaystyle{ (1+i)(1-i+i^2-i^4+\ldots+(-i)^{n-1})=1-(-i)^n=1}\). Przy okazji widzimy, że \(\displaystyle{ (1+i)^{-1}\in 1+I}\), bo \(\displaystyle{ -i+i^2-i^4+\ldots+(-i)^{n-1}\in I}\). Pozostaje wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ 1+I}\) jest zamknięty na mnożenie: \(\displaystyle{ (1+i)(1+j)=1+i+j+ij\in 1 +I}\) i koniec.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Post autor: Kartezjusz »

Zwartość?
Suri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 17 maja 2016, o 20:47
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Post autor: Suri »

\(\displaystyle{ (1+i)(1-i+i^2-i^4+\ldots+(-i)^{n-1})=1-(-i)^n=1}\).

mogłabyś mi wyjaśnić skąd, co i jak? bo nie bardzo rozumiem ten fragment.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Elementy nilpotentne, czy zbiór zawarty jest w grupie

Post autor: Kartezjusz »

Pierwsza równość ze wzoru na różnicę \(\displaystyle{ n}\) tych potęg, druga- nilpotentność.
ODPOWIEDZ