Zerowe wartości własne macierzy

[djpierug]

Witam forumowiczów!

Mam do rozwiązania liniowy układ równań różniczkowych w formie macierzowej:
\(\displaystyle{ X' = A X + U.}\)

Niektóre wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) są równe zeru. Czy mimo to mogę rozwiązywać to równanie metodą Euler-a (z wartościami równym zeru)? Wydaje mi się, że nie mogę zredukować wymiaru macierzy \(\displaystyle{ A}\), ponieważ musiałbym wtedy skrócić wektor \(\displaystyle{ U}\) i nie wiem, czy to będzie poprawne.

[SlotaWoj]

Wydaje mi się, że możesz.
Wzdłuż kierunków (być może chwilowych) odpowiadających zerowym własnościom własnym układ będzie ewoluował jedynie pod wpływem wymuszenia \(\displaystyle{ U}\) (na ewolucję nie będzie miał wpływ stan układu \(\displaystyle{ X}\)).

[djpierug]

Mam jeszcze pytanie. Wychodzą mi 3 wartości własne macierzy (w tym jedna równa zeru) - każda krotności 2. Podprzestrzeń niektórych wektorów \(\displaystyle{ v}\), będących rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ \left( A - \lambda I \right) v = 0}\)
jest większa niż krotność wartościwłasnej. Może zajść taka sytuacja?

[AloneAngel]

Jeżeli \(\displaystyle{ geom(\lambda) = dim(ker(A-\lambda \cdot I_n))}\) (czyli wymiar rozwiązania Twojego układu równań, tzw. krotność geometryczna) to zachodzi wówczas \(\displaystyle{ 1 \le geom(\lambda) \le arytm(\lambda)}\), gdzie \(\displaystyle{ arytm}\) - krotność arytmetyczna, czyli krotność tego pierwiastka. Odpowiadając na Twoje pytanie krotność geometryczna nie może wyjść większa niż krotność pierwiastka.

[djpierug]

Spytam jeszcze z ciekawości. Co to za funkcja \(\displaystyle{ ker}\)? Jak się ją definiuje? Trudno w internecie coś znaleźć nie mając pełnej nazwy funkcji.

[a4karo]

jądro (przeciwobraz zera)

[djpierug]

Odpowiadając na Twoje pytanie krotność geometryczna nie może wyjść większa niż krotność pierwiastka.

Ale przecież dla krotności równej jedności wychodzą często wektory własne o wymiarze podprzestrzeni równym rzędowi macierzy \(\displaystyle{ A}\). Zatem cytowane stwierdzenie nie jest zawsze prawdziwe. Jesteś pewny swojego stwierdzenia? Może ktoś potwierdzić to dowodem?

Pozdrawiam!

[AloneAngel]

Tak, jestem pewien tego stwierdzenia, tego nauczył mnie szanowny pan dr Kwietniak, który raczej wiedział co wykłada. Jeżeli masz wartość własną krotności 1 to wymiar rozwiązania odpowiedniego układu równań (czyli wymiar podprzestrzeni) jest równy 1, chyba, że ja czegoś nie zrozumiałem. Możesz pokazać na konkretnym przykładzie gdzie to co napisałem nie jest prawdziwe?

[djpierug]

Sorry, to mój błąd. Źle sobie coś zinterpretowałem. Dziękuję za pomoc.