Wyznaczenie współrzędnych punktu

[Jaro_MUT]

Witam, mam taki problem.
Mając dane współrzędne trzech punktów \(\displaystyle{ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)}\) oraz odległości \(\displaystyle{ d_1, d_2, d_3}\) tych punktów do pewnego punktu \(\displaystyle{ (x, y)}\) jesteśmy w stanie jednoznacznie wyznaczyć współrzędne szukanego punktu \(\displaystyle{ (x, y)}\).
Problem 1:
Czy mógłby ktoś podać wyrażenie na współrzędne szukanego punktu w postaci:
\(\displaystyle{ x = f(x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3, d_1, d_2, d_3)}\)
\(\displaystyle{ y = f(x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3, d_1, d_2, d_3)}\)

Sprawa trochę się komplikuje, gdy odległości \(\displaystyle{ d_1, d_2, d_3}\) są obarczone błędem \(\displaystyle{ d_1 \pm \Delta d_1 , d_2 \pm \Delta d_2 , d_3 \pm \Delta d_3}\). Wówczas nie otrzymamy dokładnych współrzędnych tylko pewien obszar. Szukany punkt będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ (x \pm \Delta x, y \pm \Delta y)}\) przy czym \(\displaystyle{ \Delta x}\), oraz \(\displaystyle{ \Delta y}\) można wyznaczyć metodą różniczki zupełnej.

Problem 2:
Czy po dodaniu kolejnego punktu \(\displaystyle{ D(x_4, y_4)}\) oraz odległości \(\displaystyle{ d_4 \pm \Delta d_4}\) można wykazać, że uzyskam lepszą dokładność położenia szukanego punktu \(\displaystyle{ (x, y)}\)

Pozdrawiam

[a4karo]

Czasem się nie da:

1.jpg (24.31 KiB) Przejrzano 181 razy

[Jaro_MUT]

OK, załóżmy zatem, że punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) i później \(\displaystyle{ D}\) mają takie współrzędne, że da się określić współrzędne szukanego punktu \(\displaystyle{ (x, y)}\)

Możemy sprawę uprościć zakładając:
\(\displaystyle{ A(x_1, y_1) = A(0,0)}\), \(\displaystyle{ B(x_2, y_2) = B(x_2, 0)}\), \(\displaystyle{ C(x_3, y_3) = C(x_2, y_3)}\) oraz \(\displaystyle{ D(x_4, y_4) = D(0, y_3)}\)

[a4karo]

Zauważ taką rzecz: jeżeli \(\displaystyle{ d_1+d_2>|AB|}\) to sa dokładnie dwa punkty, których odległość od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są równe danym liczbom. Stad wynika, że wspólny punkt może istnieć dla co najwyżej dwóch wartości \(\displaystyle{ d_3}\).
Ciężko zatem mówić o funkcji \(\displaystyle{ x=f(...)}\)
Współrzędne tych dwóch punktów uzyskasz rozwiązując układ równań
\(\displaystyle{ (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=d_1^2\\(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=d_2^2}\)
a potem wybierz ten własciwy

[Jaro_MUT]

No ok, wiem jak to policzyć, ale tutaj jest problem z tym, że te odległości są obarczone pewnym, błędem.
Zależy mi na wyprowadzeniu ogólnej zależności na współrzędną \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) bo wówczas mogę policzyć pochodne cząstkowe i wyznaczyć sobie \(\displaystyle{ \Delta x}\) i \(\displaystyle{ \Delta y}\)

[a4karo]

No to rozwiąż te układy równań

[Jaro_MUT]

No tylko nie bardzo mam pomysł jak.
Zawsze dotychczas robiłem tak jak wcześniej napisałeś - rozwiązywałem układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi \(\displaystyle{ (x, y)}\) i potem sprawdzałem który z punktów spełnia dodatkowo to trzecie równanie.

W tym zadaniu mam układ trzech lub czterech równań z dwiema niewiadomymi i brakuje mi pomysłu jak się za to zabrać --> liczba przekształceń mnie przeraża.

[a4karo]

Innymi słowy chcesz, żeby ktoś za ciebie zrobił czarna robotę?

Wybacz...

[Jaro_MUT]

No nie do końca. Tam jeszcze jest ten Problem 2 i tutaj to nie wiem za bardzo w jaki sposób można to wykazać. No i czy w ogóle dodanie tego czwartego punktu coś zmieni.

[a4karo]

Dopóki nie wiesz jak rozwiazać problem 1 nie ma sensu brac się za drugi (chcesz cos lepszego, a nie wiesz co masz)

[Jaro_MUT]

Dobra wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ y = \frac{(x_1 - x_3)(d_2^2 - d_1^2) - (x_1 - x_2)(d_3^2 - d_1^2) - (x_2 - x_3)(x_1^2 - x_3^2)}{2(x_3 - x_2)(y_3 - y_1)} + \frac{1}{2}(y_1 + y_3)}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{(y_1 - y_3)(d_2^2 - d_1^2) - (y_1 - y_2)(d_3^2 - d_1^2) - (y_2 - y_3)(y_1^2 - y_3^2)}{2(y_3 - y_2)(x_3 - x_1)} + \frac{1}{2}(x_1 + x_3)}\)

Mógłbyś sprawdzić??

Trochę mnie zaskakuje ten wynik.
Założyłem, na wstępie, że te punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) rozmieszczę sobie w taki sposób:
\(\displaystyle{ A(x_1, y_1) = A(0,0)}\)
\(\displaystyle{ B(x_2, y_2) = B(x_2, 0)}\)
\(\displaystyle{ C(x_3, y_3) = C(x_2, y_3)}\)

Z tego wynika, że \(\displaystyle{ x_2 = x_3}\) i tu jest problem bo zeruje mi się mianownik w \(\displaystyle{ y}\)

Albo się gdzieś pomyliłem, albo ułożenie punktów \(\displaystyle{ A, B, C}\) musi być inne. Jak uważasz??

[a4karo]

Wstaw sobie konkretne wartości i policz.

Wtedy sprawdzisz, czy masz dobry wynik.