mam sporo wątpliwości, z którymi średnio sobie daje radę więc jeżeli znalazłaby się jakaś dobra duszyczka, której chciałoby się to czytać i może udzielić kilku odpowiedzi, to będę wniebowzięty. Zacznę od początku. Nie czytałem szczerze mówiąc zbyt wiele na ten temat, cały czas po głowie chodziły mi te same problemy i trochę mnie to irytowało. Pierwsza rzecz na jaką zwróciłem uwagę przeglądając różne rozwiązania, to, że funkcję odwrotną do danej można znaleźć korzystając z definicji, bądź inaczej, jak to zwykle bywa. No i weźmy najprostszy przykład. Głównie tutaj korzystam z tej własności, że złożenie funkcji wzajemnie odwrotnych w dowolnej kolejności jest funkcją identycznościową na odpowiednim zbiorze. Jeżeli zatem mamy funkcję \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) daną wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\) i szukamy \(\displaystyle{ f^{-1}=g}\), to ja z definicji zapisałem sobie, że:
\(\displaystyle{ g(f(x))=g(x^3)=x}\) oraz \(\displaystyle{ f(g(x^3))=f(x)=x^3}\). Zatem \(\displaystyle{ (1)}\):
\(\displaystyle{ g(x)=t\\
g(x^3)=t^3\\
g(x^3)=x}\)
i z dwóch ostatnich dostaję \(\displaystyle{ t^3=x \Rightarrow t=\sqrt[3]{x}}\), zatem \(\displaystyle{ g(x)=\sqrt[3]{x}}\).
Później jeszcze trochę inaczej sobie to zapisałem \(\displaystyle{ (2)}\):
\(\displaystyle{ g(x)=t\\
f(g(x^3))=f(t^3)\\
f(g(x^3))=f(x)}\)
i z dwóch ostatnich dostaję \(\displaystyle{ x=t^3}\).
Następnie natomiast zauważyłem, że mogę też z nich otrzymać \(\displaystyle{ g(x^3)=t^3}\) oraz \(\displaystyle{ g(x^3)=x}\) (czyli \(\displaystyle{ (1)}\)), z racji tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, prawda? Więc ta druga operacja to chyba cofanie się o krok w tył. Mogę to też ciągnąć i napisać, że \(\displaystyle{ x^3=t^9}\). Niemniej jednak chciałem zapytać, czy obie te operacje znajdowania funkcji \(\displaystyle{ g=g(x)}\) są poprawne? W sumie pojawia mi się też pytanie gdzie w \(\displaystyle{ (1)}\) wykorzystana jest iniekcja.
Znalazłem gdzieś rozwiązanie bardzo podobne, różniące się szczegółem, mianowicie z definicji złożenia były zapisane tak: \(\displaystyle{ g(f(x))=x}\) oraz \(\displaystyle{ f(g(x))=x}\).
Wtedy odpowiednik \(\displaystyle{ (1)}\), nazwijmy go \(\displaystyle{ (11)}\):
\(\displaystyle{ g(x)=t\\
g(x^3)=t^3\\
g(x^3)=g(f(x))=x}\)
stąd \(\displaystyle{ t^3=x}\), niewiele się zmieniło.
Teraz \(\displaystyle{ (22)}\):
\(\displaystyle{ g(x)=t\\
f(g(x))=f(t)=t^3\\
f(g(x))=x}\)
czyli \(\displaystyle{ t^3=x}\). Znowu pojawia mi się pytanie, czy to jest poprawne rozwiązanie, czy nie i czy ma to znaczenie, co będzie argumentem w złożeniu \(\displaystyle{ f\circ g}\).
Okay no to zostawiamy na razie definicję. Dalej mamy tak samo określoną funkcję \(\displaystyle{ f}\). Teraz jeżeli dobrze zrozumiałem, to nie ma to znaczenia, czy najpierw rozwiążemy równanie, ze względu na \(\displaystyle{ y}\), a potem zamienimy \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ x}\) (jeżeli szukana funkcja \(\displaystyle{ g}\) ma postać \(\displaystyle{ g(x)}\)):
\(\displaystyle{ y=f(x)}\), \(\displaystyle{ x=g(y)=f^{-1}(y)}\)
\(\displaystyle{ y=x^3\Rightarrow x=\sqrt[3]{y}\Rightarrow g(y)=\sqrt[3]{y}}\), zatem \(\displaystyle{ g(x)=\sqrt[3]{x}}\)
czy zaczniemy od zamiany \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ y=f(x)\\
y=x^3}\)
\(\displaystyle{ x=y^3 \Rightarrow y=\sqrt[3]{x}\Rightarrow g(x)=\sqrt[3]{x}}\) w obu przypadkach zawsze będzie się zgadzać, tak? Jeżeli chcielibyśmy zrobić zadanie poprawnie od początku do końca, to o ile się nie mylę, trzeba sprawdzić, czy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją? Jeżeli tak, to najpierw pokazujemy, że to jest iniekcja w wiadomy sposób. Teraz surjekcja: \(\displaystyle{ \forall x\in \RR\ \exists y\in\RR:\ f(x)=y}\). Zatem wybieramy dowolny \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ \RR}\) i sprawdzamy:
\(\displaystyle{ y=x^3 \Rightarrow x=\sqrt[3]{y}}\). Dziedziną zmiennej \(\displaystyle{ y}\) dalej jest \(\displaystyle{ \RR}\), więc zawsze istnieje taki \(\displaystyle{ x}\), no więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją. Teraz tutaj, o ile się nie mylę, mamy już znalezioną funkcję odwrotną. Znowu pytanie, czy to zawsze tak będzie działać?
Ostatnia sprawa tyczy się funkcji nieróżnowartościowych. Weźmy prosty przykład funkcji \(\displaystyle{ f:RR
ightarrow [0,+infty)}\) danej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\). Nie bardzo widzę w \(\displaystyle{ (1)}\), \(\displaystyle{ (11)}\) i \(\displaystyle{ (22)}\) gdzie to się sypie. Jeżeli zrobię analogicznie jak w \(\displaystyle{ (11)}\), to otrzymam \(\displaystyle{ t^2=x}\), albo inaczej. Mam \(\displaystyle{ y=x^2}\). Jeżeli zamienię \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ y}\) miejscami, to dostanę \(\displaystyle{ x=y^2}\). To jest chyba funkcja uwikłana, jako funkcja \(\displaystyle{ y(x)}\), ale nie funkcja, więc nie tego szukaliśmy. Ale idąc dalej \(\displaystyle{ y= \pm \sqrt{x}}\). I tu nie jestem pewien, bo wydaje mi się, że to jest multifunkcja? Znowu, nie jest to funkcja, ale wolfram zapytany o funkcję odwrotną do \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) wyrzuca właśnie \(\displaystyle{ \pm \sqrt{x}}\).
Jeżeli komuś udało się dotrwać do końca, to w skrócie: czy któryś z podanych sposobów znajdowania \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest poprawny/niepoprawny, co z tą iniekcją przy korzystaniu z definicji, i co mam odpowiedzieć, gdy ktoś zapyta o funkcję odwrotną do \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\), bo wydaje mi się, że samą operację można odwrócić, tylko chyba wtedy to już nie jest funkcja i w tym jest problem.
@edit
Oczywiście racja doktorze, pomyliłem sobie zmienne w kwantyfikatorach, powinno być \(\displaystyle{ \forall y\in\RR \ \exists x\in\RR: f(x)=y}\)Jan Kraszewski pisze:Niedobrze, bo to dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ x}\)-a masz znaleźć \(\displaystyle{ y}\), a nie odwrotnie.Waylays pisze:Teraz surjekcja: \(\displaystyle{ \forall x\in \RR\ \exists y\in\RR:\ f(x)=y}\). Zatem wybieramy dowolny \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ \RR}\) i sprawdzamy:
\(\displaystyle{ y=x^3 \Rightarrow x=\sqrt[3]{y}}\). Dziedziną zmiennej \(\displaystyle{ y}\) dalej jest \(\displaystyle{ \RR}\), więc zawsze istnieje taki \(\displaystyle{ x}\), no więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.
