Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
W kostce \(\displaystyle{ [0,1]^3}\) wybieramy losowo punkt \(\displaystyle{ (a,b,c)}\).
Wyznacz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:
\(\displaystyle{ A}\): Trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a+b,b+c,c+a}\) ma boki \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\).
\(\displaystyle{ B}\).:Trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\) ma boki \(\displaystyle{ a+b,b+c,c+a}\).
Wyznacz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:
\(\displaystyle{ A}\): Trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a+b,b+c,c+a}\) ma boki \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\).
\(\displaystyle{ B}\).:Trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\) ma boki \(\displaystyle{ a+b,b+c,c+a}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
A: Z nierówności trójkąta sprawdzamy łatwo, że \(\displaystyle{ a+b, b+c, c+a}\) są bokami pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wszystkie dodatnie.
Skoro boki dwóch trójkątów są takie same, to te trójkąty są przystające i możliwe są 3 przypadki:
1. \(\displaystyle{ a+b=2a}\). Stąd łatwo wynika, że \(\displaystyle{ a=b}\), a więc mamy \(\displaystyle{ a+c = b+c}\), czyli w konsekwencji \(\displaystyle{ 2b = 2c}\) (nie wiadomo czy \(\displaystyle{ a+c=2b}\) czy też \(\displaystyle{ b+c=2b}\), ale nie ma to znaczenia). W konsekwencji musi być \(\displaystyle{ a=b=c}\).
2. \(\displaystyle{ a+b = 2b}\). Przypadek całkowicie analogiczny do 1. Również dostajemy \(\displaystyle{ a=b=c}\).
3. \(\displaystyle{ a+b = 2c}\) oraz \(\displaystyle{ b+c = 2a}\) i \(\displaystyle{ c+a=2b}\) (w przeciwnym razie dostajemy przypadek analogiczny do 1 lub 2). Bez utraty ogólności (dla układu równań, nie dla zadania), niech \(\displaystyle{ a}\) będzie tutaj najmniejszą z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\). Z drugiego równania mamy:
\(\displaystyle{ 2a = b+c \ge a+a = 2a}\) zatem muszą zachodzić równości \(\displaystyle{ b=a}\) i \(\displaystyle{ c=a}\) co daje \(\displaystyle{ a=b=c}\).
Zatem zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) zachodzi pod warunkiem, że \(\displaystyle{ a=b=c>0}\). Mamy \(\displaystyle{ P\left(A\right) = 0}\).
W przypadku \(\displaystyle{ B}\) zakładając, że \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\) są bokami trójkąta, otrzymujemy dokładnie te same układy równań co w \(\displaystyle{ A}\). A więc rozumując analogicznie \(\displaystyle{ P\left( B\right) = 0}\)
Skoro boki dwóch trójkątów są takie same, to te trójkąty są przystające i możliwe są 3 przypadki:
1. \(\displaystyle{ a+b=2a}\). Stąd łatwo wynika, że \(\displaystyle{ a=b}\), a więc mamy \(\displaystyle{ a+c = b+c}\), czyli w konsekwencji \(\displaystyle{ 2b = 2c}\) (nie wiadomo czy \(\displaystyle{ a+c=2b}\) czy też \(\displaystyle{ b+c=2b}\), ale nie ma to znaczenia). W konsekwencji musi być \(\displaystyle{ a=b=c}\).
2. \(\displaystyle{ a+b = 2b}\). Przypadek całkowicie analogiczny do 1. Również dostajemy \(\displaystyle{ a=b=c}\).
3. \(\displaystyle{ a+b = 2c}\) oraz \(\displaystyle{ b+c = 2a}\) i \(\displaystyle{ c+a=2b}\) (w przeciwnym razie dostajemy przypadek analogiczny do 1 lub 2). Bez utraty ogólności (dla układu równań, nie dla zadania), niech \(\displaystyle{ a}\) będzie tutaj najmniejszą z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\). Z drugiego równania mamy:
\(\displaystyle{ 2a = b+c \ge a+a = 2a}\) zatem muszą zachodzić równości \(\displaystyle{ b=a}\) i \(\displaystyle{ c=a}\) co daje \(\displaystyle{ a=b=c}\).
Zatem zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) zachodzi pod warunkiem, że \(\displaystyle{ a=b=c>0}\). Mamy \(\displaystyle{ P\left(A\right) = 0}\).
W przypadku \(\displaystyle{ B}\) zakładając, że \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\) są bokami trójkąta, otrzymujemy dokładnie te same układy równań co w \(\displaystyle{ A}\). A więc rozumując analogicznie \(\displaystyle{ P\left( B\right) = 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
\(\displaystyle{ A}\) jest OK (choć można było trochę prościej to zaargumentować).
Przypadek \(\displaystyle{ B}\), choć pozornie podobny, nie jest taki sam. Zauważ co napisałeś na początku ostatniego zdania (dlatego właśnie oprócz geometryczno-probabilistycznej jest to również zagadka logiczna)
Przypadek \(\displaystyle{ B}\), choć pozornie podobny, nie jest taki sam. Zauważ co napisałeś na początku ostatniego zdania (dlatego właśnie oprócz geometryczno-probabilistycznej jest to również zagadka logiczna)
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
Miałem to oczywiście na uwadze, że \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\) muszą spełniać warunki na nierówność trójkąta, jednak świadomie odpuściłem to założenie (wziąłem je pod uwagę na koniec, jednak nie zmieniło to odpowiedzi).
PS: Chętnie zobaczę prostszą argumentację w A
PS: Chętnie zobaczę prostszą argumentację w A
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
Tak naprawdę napisałes już ten argument w w punkcie 3. Jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest najkrótszym bokiem, to równość \(\displaystyle{ 2a=p+q}\) (gdzie \(\displaystyle{ p,q\in\{a,b,c\}, p\neq q}\) implikuje \(\displaystyle{ p=q=a}\).
Natomiast w przypadku \(\displaystyle{ A}\) prawdopodobieństwo nie jest zerowe własnie z powodu asymetrii założeń (pomyśl dlaczego )
Natomiast w przypadku \(\displaystyle{ A}\) prawdopodobieństwo nie jest zerowe własnie z powodu asymetrii założeń (pomyśl dlaczego )
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1654
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
patrzymy na sumę kwadratów boków i dostajemy równość \(\displaystyle{ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 = (2a)^2+(2b)^2+(2c)^2}\) czyli po przegrupowaniu wyrazów \(\displaystyle{ 0=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}\) czyli \(\displaystyle{ a=b=c}\)bakala12 pisze:PS: Chętnie zobaczę prostszą argumentację w A
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
Nic z tego nie rozumiem. Możesz jaśniej?Natomiast w przypadku A prawdopodobieństwo nie jest zerowe własnie z powodu asymetrii założeń (pomyśl dlaczego )
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
Wtedy kiedy \(\displaystyle{ a,b,c >0}\) oraz spełniają warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b>c \\ b+c>a \\ c+a>b \end{cases}}\)
Ponadto trójkąty o bokach \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\) oraz \(\displaystyle{ a+b,b+c,c+a}\) są przystające (ileś tam możliwych układów równań).
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b>c \\ b+c>a \\ c+a>b \end{cases}}\)
Ponadto trójkąty o bokach \(\displaystyle{ 2a,2b,2c}\) oraz \(\displaystyle{ a+b,b+c,c+a}\) są przystające (ileś tam możliwych układów równań).
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
Ładnietimon92 pisze:patrzymy na sumę kwadratów boków i dostajemy równość \(\displaystyle{ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 = (2a)^2+(2b)^2+(2c)^2}\) czyli po przegrupowaniu wyrazów \(\displaystyle{ 0=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}\) czyli \(\displaystyle{ a=b=c}\)bakala12 pisze:PS: Chętnie zobaczę prostszą argumentację w A
- Santiago A
- Użytkownik
- Posty: 248
- Rejestracja: 22 sty 2016, o 20:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zaragoza
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 51 razy
Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
W punkcie b) dostajemy \(\displaystyle{ 50}\) procent szans na sukces, jeżeli nie pomyliłem się w rachunkach.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Bliźniaki geometryczno-probabilistyczno-logiczne
Szczerze mówiąc nie chciało mi się policzyć tych wszystkich włączeń/wyłączeńSantiago A pisze:W punkcie b) dostajemy \(\displaystyle{ 50}\) procent szans na sukces, jeżeli nie pomyliłem się w rachunkach.