przykład kraty

[milmi]

Cytuję przykład z podręcznika: "Przykładem nieskończonego zbioru uporządkowanego, niebędącego kratą jest rodzina wszystkich (niepustych) kół położonych na płaszczyźnie, uporządkowana przez relację inkluzji".
Definicja kraty, którą się posługuję:

Niepusty zbiór \(\displaystyle{ K}\) wraz z dwoma binarnymi operacjami \(\displaystyle{ \vee}\) i \(\displaystyle{ \wedge}\) nazywamy kratą jeżeli spełnia następujące tożsamości (symbol \(\displaystyle{ \approx}\) używany jest do postawienia znaku równości, który może lub nie być prawdziwy).
\(\displaystyle{ a\wedge b\approx b\wedge a, \ \ a\vee b\approx b\vee a -\mbox{ przemienność}\\
a\wedge a\approx a, \ \ a\vee a\approx a - \mbox{ idempotencja}\\
a\wedge (b\wedge c)\approx (a\wedge b)\wedge c, \ \ a\vee (b\vee c)\approx (a\vee b)\vee c - \mbox{ łączność}\\
a\approx a\wedge (a \vee b), \ \ a\approx a\vee (a\wedge b) - \mbox{ pochłanianie}}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ a,b,c \in K.}\)

lub

Zbiór częściowo uporządkowany \(\displaystyle{ A}\) nazywamy kratą jeżeli dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in A}\) istnieje kresy \(\displaystyle{ \sup\{a,b\}}\) (najmniejsze ograniczenie górne) oraz \(\displaystyle{ \inf\{a,b\}}\) (największe ograniczenie dolne).

Potrzebne działania, które wytłumaczą, dlaczego tak jest ...? Proszę o rozwiązanie.

[mm34639]

Chyba kluczowe jest to, że koła mają być niepuste

Weźmy dwa rozłączne koła, czym będzie \(\displaystyle{ a \wedge b}\)?

[Jan Kraszewski]

Albo z drugiej definicji. Weź dwa rozłączne koła na płaszczyźnie. Jak wygląda ich kres dolny?

JK