kostka Cantora

[karolynqaa]

Dlaczego kostka Cantora \(\displaystyle{ 2^\mathfrak{c}}\) jest ośrodkowa?

[Slup]

Interpretujemy \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\) jako zbiór funkcji charakterystycznych na prostej rzeczywistej \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Baza zbiorów otwartych tej przestrzeni składa się z rodzin funkcji postaci:
\(\displaystyle{ B(r_1,...,r_n;s_1,...,s_m)=\{\chi_A\mid A\subseteq \mathbb{R},\,\forall_{1\leq i\leq n}\chi_A(r_i)=1,\,\forall_{1\leq j\leq m}\chi(s_j)=0 \}}\)
gdzie \(\displaystyle{ r_1,...,r_n,s_1,...,s_m\in \mathbb{R}}\) są parami różne.
Niech teraz \(\displaystyle{ \{A_n\}_{n\in \mathbb{N}}}\) będzie rodziną wszystkich skończonych sum przedziałów otwartych o obu krańcach wymiernych. Niech \(\displaystyle{ f_n=\chi_{A_n}}\).
Teraz dla każdego wyboru \(\displaystyle{ r_1,...,r_n,s_1,...,s_m\in \mathbb{R}}\) znajdziemy skończoną sumę przedziałów otwartych o obu krańcach wymiernych \(\displaystyle{ A_{n_0}}\) taką, że:
\(\displaystyle{ r_i\in A_{n_0}}\)
dla \(\displaystyle{ 1\leq i\leq n}\) oraz:
\(\displaystyle{ s_j\not \in A_{n_0}}\)
dla \(\displaystyle{ 1\leq j\leq m}\). Oznacza to, że:
\(\displaystyle{ f_{n_0}\in B(r_1,...,r_n;s_1,...,s_m)}\)
czyli \(\displaystyle{ \{f_n\}_{n\in \mathbb{N}}}\) jest gęstym podzbiorem.

[karolynqaa]

Dziękuje a jak obliczyć gęstość tej kostki?

[Slup]

Wiesz już, że gęstość nie przekracza \(\displaystyle{ \aleph_0}\).
Wystarczy, że udowodnisz, że żaden skończony podzbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest gęsty w tej kostce, ale to jest banalne, bo jego domknięcie wynosi \(\displaystyle{ A}\) i nie może być całą przestrzenią. Stąd gęstość jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ \aleph_0}\).
Czyli gęstość wynosi \(\displaystyle{ \aleph_0}\).

[karolynqaa]

Nie bardzo wiem jak to udowodnić. Mógłby Pan to rozpisać?

[Slup]

Gęstość \(\displaystyle{ d(X)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) to najmniejsza moc podzbioru gęstego w \(\displaystyle{ X}\).
Pokazaliśmy, że istnieje podzbiór gęsty mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Zatem:
\(\displaystyle{ d(X)\leq \aleph_0}\)
Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ d(X)<\aleph_0}\)
Oznacza to, że gęstość \(\displaystyle{ X}\) jest skończona. Czyli istnieje skończony i gęsty podzbiór \(\displaystyle{ A\subseteq 2^{\mathfrak{c}}}\). Wtedy byłoby:
\(\displaystyle{ A=\overline{A}=2^{\mathfrak{c}}}\)
bo podzbiór skończony w przestrzeni \(\displaystyle{ T_1}\) jest domknięty. Zatem \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\) byłaby skończoną przestrzenią, a to jest nieprawda. Sprzeczność.
Stąd \(\displaystyle{ d(X)=\aleph_0}\).

[Spektralny]

Ogólnie, warto odnotować, że jest to szczególny przypadek .

[Slup]

Spektralny dziękuję . Niestey zapomniałem o tym twierdzeniu .
Czy mógłbyś podać jakieś ciekawe zastosowanie tego twierdzenia? Podejrzewam, że jesteś najlepszą osobą, którą można o to zapytać.

[Spektralny]

Może nie zastosowanie, ale ilustracja tego jak intuicja w dotycząca ośrodkowości może być zawodna.

Z twierdzenia Tichonowa każda przestrzeń całkowicie regularna wagi co najwyżej continuum zanurza się w kostkę \(\displaystyle{ [0,1]^{\mathbb{R}}}\), która jest ośrodkowa. Przestrzenie takie mogą być jednak bardzo nieośrodkowe, na przykład, możemy wziąć przestrzeń dyskretną mocy continuum.