Znaleźć wzór funkcji

[Birche]

Witam,

Natknąłem się ostatnio na nietypowe zadanie. W układzie kartezjańskim dane są 3 punkty: \(\displaystyle{ A(0; 0), B(4; 3), C(7; 7).}\) Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) przyporządkowuje każdemu \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistemu taką wartość, że suma odległości punktów \(\displaystyle{ A, B i C}\) od punktu \(\displaystyle{ (x; f(x))}\) jest najmniejsza. Znaleźć wzór tej funkcji.

Serdecznie zapraszam do pomocy w zmierzeniu się z tym problemem i z góry dziękuję. Pozdrawiam

[SlotaWoj]

Oznacz przez \(\displaystyle{ D}\) punkt \(\displaystyle{ \left( x,f(x)\right)}\) .
Zrób rysunek, aby zadanie lepiej trafiało do wyobraźni i wyprowadź wzór:

• \(\displaystyle{ S=\left|\overline{DA}\right|+\left|\overline{DB}\right|+\left|\overline{DC}\right|}\)

Z warunku \(\displaystyle{ S'=0}\) wyznaczysz \(\displaystyle{ f(x)}\) .

[a4karo]

Oznacz przez \(\displaystyle{ D}\) punkt \(\displaystyle{ \left( x,f(x)\right)}\) .
Zrób rysunek, aby zadanie lepiej trafiało do wyobraźni i wyprowadź wzór:

• \(\displaystyle{ S=\left|\overline{DA}\right|+\left|\overline{DB}\right|+\left|\overline{DC}\right|}\)

Z warunku \(\displaystyle{ S'=0}\) wyznaczysz \(\displaystyle{ f(x)}\) .

Albo i nie, pewnie nie uda się rozwiązać tego równania

[Birche]

@SlotaWoj Nie ma problemu z szukaniem wzoru dla danego \(\displaystyle{ x}\), wtedy jest to po prostu znalezienie minimum funkcji jednej zmiennej. Jednak narysowanie wykresu \(\displaystyle{ f(x)}\) wymaga zastosowania tych działań dla każdego x rzeczywistego.

[kinia7]

Nie potrafię podać dokładnej postaci \(\displaystyle{ f(x)}\), ale wygląda ona Obrazek wygasł.

[Birche]

@kinia7 Bardzo dziękuję. Czy jest Pani pewna, że wejście w asymptoty jest tak gładkie? Opracowałem wzór wykresu dla odległości od dwóch punktów oparty na twierdzeniu Herona o prostej i dwóch punktach.Wykres takiej funkcji oczywiście przechodzi przez oba punkty, jednak nie ma w nich pochodnej ze względu na ostre wejście w asymptotę. Dla pierwotnego zadania potrzebne byłoby jednak rozszerzenie twierdzenia Herona, tj. jaka jest zależność między odcinkami, gdy suma odległości trzech punktów od punktu na prostej jest najmniejsza. Czy ktoś z obecnych spotkał się z taką własnością? Dziękuję i pozdrawiam

[SlotaWoj]

A4karo miał rację. Nie będzie to takie proste.

Funkcja \(\displaystyle{ y=f(x)}\) jest rozwiązaniem równania różniczkowego:

• \(\displaystyle{ y'=\frac{x\sqrt{bc}+(x-4)\sqrt{ac}+(x-7)\sqrt{ab}}{y\sqrt{bc}+(y-3)\sqrt{ac}+(y-7)\sqrt{ab}}}\)

gdzie:

• \(\displaystyle{ a=x^2+y^2 \\
  b=(x-4)^2+(y-3)^2 \\
  c=(x-7)^2+(y-7)^2}\)

Mam nadzieję, że nie pomyliłem się w wyprowadzeniu ww. równania.

Ponieważ \(\displaystyle{ \left|\overline{AB}\right|=\left|\overline{BC}\right|}\), można współrzędne punktu \(\displaystyle{ B=(4;3)}\) przyjąć jako warunki początkowe przy numerycznym rozwiązaniu tego równania.

Spróbuję co wyjdzie.

[Birche]

A4karo miał rację. Nie będzie to takie proste.

Funkcja \(\displaystyle{ y=f(x)}\) jest rozwiązaniem równania różniczkowego:

• \(\displaystyle{ y'=\frac{x\sqrt{bc}+(x-4)\sqrt{ac}+(x-7)\sqrt{ab}}{y\sqrt{bc}+(y-3)\sqrt{ac}+(y-7)\sqrt{ab}}}\)

gdzie:

• \(\displaystyle{ a=x^2+y^2 \\
  b=(x-4)^2+(y-3)^2 \\
  c=(x-7)^2+(y-7)^2}\)

Mam nadzieję, że nie pomyliłem się w wyprowadzeniu ww. równania.

Ponieważ \(\displaystyle{ \left|\overline{AB}\right|=\left|\overline{BC}\right|}\), można współrzędne punktu \(\displaystyle{ B=(4;3)}\) przyjąć jako warunki początkowe przy numerycznym rozwiązaniu tego równania.

Spróbuję co wyjdzie.

Bardzo dziękuję za zaangażowanie. Podstawiając wartości \(\displaystyle{ (4;3)}\) otrzyma Pan wartość minimum globalnego funkcji dwóch zmiennych opisującej sumę odległości od punktu \(\displaystyle{ (x;y)}\), czyli 10, ponieważ znajduje się ono właśnie w punkcie \(\displaystyle{ (4;3;10)}\). Poza tym, owszem, znalezienie takiej pochodnej jest niezbędne dla znalezienia jednej pary wartości tworzących punkt należący do szukanej funkcji, jednak przy "przesunięciu się" na następny sprawdzany \(\displaystyle{ x}\) pochodna ulega zmianie i wymaga powtórzenia całej operacji od początku. Przy czym samo wyjście z trzech pierwiastków przy użyciu wzorów skróconego mnożenia będzie bardzo pracochłonne. Pozdrawiam-- 3 lip 2016, o 14:11 --Dla ciekawych: wzór na funkcję analogiczną do szukanej, gdzie początkowo dane mamy dwa punkty zamiast trzech. Jeśli ktoś z Państwa znajdzie błąd, bardzo proszę o wiadomość. Dla zadanych punktów \(\displaystyle{ A(a;b)}\) i \(\displaystyle{ B(c;d)}\) gdzie \(\displaystyle{ a<c}\):

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{|(a-x)*(b-d)|}{|a-x|+|c-x|}+min\left\{b, d\right\}}\)

[kinia7]

@kinia7. Czy jest Pani pewna, że wejście w asymptoty jest tak gładkie?

Jeszcze raz sprawdziłam ten problem i miał Pan rację. Poprawiłam się, a efekt jest .

[Birche]

@kinia7. Czy jest Pani pewna, że wejście w asymptoty jest tak gładkie?

Jeszcze raz sprawdziłam ten problem i miał Pan rację. Poprawiłam się, a efekt jest .

Bardzo dziękuję, na pewno wykres będzie bardzo przydatny przy znajdowaniu wzoru Pozdrawiam

[SlotaWoj]

A4karo miał rację. Nie będzie to takie proste.

Funkcja \(\displaystyle{ y=f(x)}\) jest rozwiązaniem równania różniczkowego:

• \(\displaystyle{ y'=\frac{x\sqrt{bc}+(x-4)\sqrt{ac}+(x-7)\sqrt{ab}}{y\sqrt{bc}+(y-3)\sqrt{ac}+(y-7)\sqrt{ab}}}\)

gdzie:

• \(\displaystyle{ a=x^2+y^2 \\
  b=(x-4)^2+(y-3)^2 \\
  c=(x-7)^2+(y-7)^2}\)

Mam nadzieję, że nie pomyliłem się w wyprowadzeniu ww. równania.

Ponieważ \(\displaystyle{ \left|\overline{AB}\right|=\left|\overline{BC}\right|}\), można współrzędne punktu \(\displaystyle{ B=(4;3)}\) przyjąć jako warunki początkowe przy numerycznym rozwiązaniu tego równania.

Spróbuję co wyjdzie.

Próbując numerycznie rozwiązać ww. równanie różniczkowe zorientowałem się, że zaproponowany sposób nie prowadzi do rozwiązania zadania. Równanie to jest pochodną \(\displaystyle{ \frac{dS}{dx}}\), więc powinno być:

• \(\displaystyle{ x\sqrt{bc}+(x-4)\sqrt{ac}+(x-7)\sqrt{ab}=0}\)

tylko że otrzymane w ten sposób rozwiązanie nie jest funkcją \(\displaystyle{ f(x)}\) tylko funkcją do niej odwrotną \(\displaystyle{ f^{-1}(y)}\).
Więc lepiej jest potraktować zmienną \(\displaystyle{ x}\) jako parametr i poszukiwać minimum po \(\displaystyle{ y}\) przy pomocy równania \(\displaystyle{ \frac{dS}{dy}=0}\), czyli:

• \(\displaystyle{ y\sqrt{bc}+(y-3)\sqrt{ac}+(y-7)\sqrt{ab}=0}\)

Jest to uwikłana postać funkcji \(\displaystyle{ y=f(x)}\) i nie wydaje mi się, aby można ją było przekształcić do postaci jawnej.
Sprawdziłem numerycznie – ma ona taki sam sam przebieg jak , której wykres podała Kinia7.