Pokazanie rozbieżności i braku monotoniczności

[matinf]

Cześć,

\(\displaystyle{ \sqrt{n^2 + (-1)^n} - n}\)
I teraz wg mnie ten ciąg nie jest zbieżny, jest rozbieżny z racji tego, że dla dwóch podciągów (parzyste wyrazy i nieparzyste) dąży raz do plus a raz do minus nieskończoności.

Jak to zobaczyć ? Trzeba zapisać w postaci równoważnej:
\(\displaystyle{ n(\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{n^2}} - 1).}\)
Widać, że nawias nawias naprzemiennie przyjmuje różne znaki.
Oznacza to, że ciąg ani nie jest zbieżny, jest rozbieżny. Co więcej nie jest monotoniczny. Nie jest też ograniczony, bo wyrazy dowolnie rosną, maleją.

Wszystko ok ?

[a4karo]

A co powiesz o takim ciągu: \(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{n}}\)

Dlaczego twierdzisz, że wyrazy Twojego ciągu są coraz większe (co do wartości bezwzględnej)?

[Premislav]

Moim zdaniem to nie jest dobra analogia: autor wątku nie dostrzegł, że po tym przekształceniu ma do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym \(\displaystyle{ [0 \cdot \infty]}\) i stąd cały problem, a tutaj nie mamy takiej sytuacji. Lepszą analogią byłoby np.
\(\displaystyle{ a_n=n(-1)^n\left( e^{ \frac{1}{n^2} }-1\right)}\) - pewnie da się dużo prostsze dobrać, tylko ja jestem za mało bystry.

-- 28 cze 2016, o 20:07 --

matinf, ciąg \(\displaystyle{ \sqrt{n^2 + (-1)^n} - n}\) jak najbardziej jest zbieżny, pomnóż przez \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n^2+(-1)^n}+n}{\sqrt{n^2+(-1)^n}+n}}\) i skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów, by się o tym przekonać.

[matinf]

@Premislav,
juz to widzę.
Źle popatrzyłem na to wyrażenie.
Jest zbieżny, nie jest monotoniczny (caly czas zmeinia znak).
Czy stąd wyniknie monotoniczność ?

[a4karo]

Jest zbieżny, nie jest monotoniczny (caly czas zmeinia znak).
Czy stąd wyniknie monotoniczność ?

Czy to pisała jedna osoba?

[matinf]

Chciałem powiedzieć czy stąd wyniknie ograniczoność.

Ale chwila,
po wymnożeniu dostanę:

\(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{n(\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{n^2}}+1)}}\)

[Premislav]

Zgadza się z tym wymnożeniem. Teraz zauważ, że licznik jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 1}\) i z dołu przez \(\displaystyle{ -1}\), a mianownik dąży do \(\displaystyle{ \infty}\), gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)


Co do ograniczoności: to się akurat zgadza. Jeśli ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny i ma granicę właściwą \(\displaystyle{ g}\), to np. \(\displaystyle{ |a_{n}|\le 2|g|}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\)
(wystarczy odwołać się do definicji granicy i wziąć \(\displaystyle{ \varepsilon:=|g|}\), a następnie skorzystać z nierówności trójkąta).

[matinf]

Podsumowując:
niemonotoniczny, zbieżny do zera, ograniczony (jak każdy ciąg zbieżny)

[a4karo]

Co do ograniczoności: to się akurat zgadza. Jeśli ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny i ma granicę właściwą \(\displaystyle{ g}\), to np. \(\displaystyle{ |a_{n}|\le 2|g|}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\)
(wystarczy odwołać się do definicji granicy i wziąć \(\displaystyle{ \varepsilon:=|g|}\), a następnie skorzystać z nierówności trójkąta).

Spróbuj to zrobić z ciągiem, którego granica jest zero

[Premislav]

Ups... No cóż, nie każdy umie myśleć.

To można wziąć np. \(\displaystyle{ \varepsilon=\max\left\{ |g|,1\right\}}\) (oczywiście jedynkę można zastąpić dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią). Wówczas skoro
\(\displaystyle{ (\forall \varepsilon >0)(\exists n_{\varepsilon} \in \NN)(\forall n>n_{\varepsilon})(|a_{n}-g|<\varepsilon)}\)
to biorąc \(\displaystyle{ \varepsilon=\max\left\{ |g|,1\right\}}\) otrzymujemy, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ |a_{n}-g|<\max\left\{ |g|,1\right\}}\), a ponieważ
z nierówności trójkąta mamy \(\displaystyle{ |a_{n}|\le|a_{n}-g|+|g|}\),
to wówczas \(\displaystyle{ |a_{n}|<|g|+\max\left\{ |g|,1\right\}}\)

To bardzo proste, ale chciałem jakoś naprawić to przeoczenie...

[matinf]

A możesz odnieść się do mojego podsumowania ?

[Premislav]

Podsumowując:
niemonotoniczny, zbieżny do zera, ograniczony (jak każdy ciąg zbieżny)

Zgadza się.