Całka podwójna iterowana gdy D jest trójkątem - problem z D

[bielaseq]

Witam.
Mam problem z wyznaczaniem \(\displaystyle{ D}\) w zadaniach z wierzchołkami trójkąta. Nie wiem dokładnie co skąd się bierze, czy mógłby mi ktoś to wytłumaczyć, np. gdy trójkąt ma wierzchołki \(\displaystyle{ (4,2)(7,5)}\) i \(\displaystyle{ (1,5)}\)?

Mi wychodzi \(\displaystyle{ 1 \le x \le 7}\)i \(\displaystyle{ -x \le y \le x}\)

-- 27 cze 2016, o 15:08 --

Po czasie doszedłem do wniosku, że \(\displaystyle{ 2 \le y \le 5}\) a także \(\displaystyle{ -y+6 \le x \le y+2}\) czy to jest dobrze?

[Waylays]

Po czasie doszedłem do wniosku, \(\displaystyle{ 2 \le y \le 5}\) a także \(\displaystyle{ -y+6 \le x \le y+2}\) czy to jest dobrze?

O ile dobrze wyznaczyłeś te proste, a wydaje mi się, że tak, to jest okay. Obszar \(\displaystyle{ D}\) jest tutaj normalny względem osi \(\displaystyle{ oy}\), ale zauważ, że względem osi \(\displaystyle{ ox}\) już nie, więc jeżeli chciałbyś ograniczyć sobie liczbowo \(\displaystyle{ x}\), a \(\displaystyle{ y}\) przez funkcje, to musiałbyś \(\displaystyle{ D}\) podzielić na obszary normalne względem osi \(\displaystyle{ ox}\), najlepiej prostą \(\displaystyle{ x=4}\). Wtedy oczywiście zmienia się kolejność całkowania.

[a4karo]

Po czasie doszedłem do wniosku, \(\displaystyle{ 2 \le y \le 5}\) a także \(\displaystyle{ -y+6 \le x \le y+2}\) czy to jest dobrze?

O ile dobrze wyznaczyłeś te proste, a wydaje mi się, że tak, to jest okay. Obszar \(\displaystyle{ D}\) jest tutaj normalny względem osi \(\displaystyle{ oy}\), ale zauważ, że względem osi \(\displaystyle{ ox}\) już nie, więc jeżeli chciałbyś ograniczyć sobie liczbowo \(\displaystyle{ x}\), a \(\displaystyle{ y}\) przez funkcje, to musiałbyś \(\displaystyle{ D}\) podzielić na obszary normalne względem osi \(\displaystyle{ ox}\), najlepiej prostą \(\displaystyle{ x=4}\). Wtedy oczywiście zmienia się kolejność całkowania.

A z jakiego powodu ten obszar nie jest normalny względem \(\displaystyle{ 0x}\)?

[Waylays]

Jeśli obszar \(\displaystyle{ D}\) jest naszym trójkątem, no to wydaje mi się, że nie spełnia definicji obszaru normalnego względem osi \(\displaystyle{ 0x}\), czyli w przypadku obszaru płaskiego w \(\displaystyle{ \RR^2}\), zbioru \(\displaystyle{ D=\{ (x,y):a \le x \le b}\) i \(\displaystyle{ g(x) \le y \le h(x)\}}\) gdzie funkcje \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ h}\) są ciągłe na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) oraz \(\displaystyle{ h(x) \ge g(x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in[a,b]}\). Jeżeli \(\displaystyle{ x\in [1,7]}\), to nie ma jednej funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\), tylko są dwie, dla \(\displaystyle{ x\in [1,4]}\) jest to \(\displaystyle{ y=-x+6}\), a dla \(\displaystyle{ x\in [4,7]}\) jest to \(\displaystyle{ y=x-2}\). Zawsze mi się wydawało, że w takiej sytuacji to nie jest obszar normalny względem osi \(\displaystyle{ 0x}\), ale mogę się mylić.

[a4karo]

Nie. Ten złamany dolny brzeg jest wykrętem funkcji ciągłej zadanej "sklejonym" wzorem.

[bielaseq]

A mógłby mi ktoś wytłumaczyć skąd mam dokładnie wiedzieć kiedy dzielić obszar na 2 i czy do x czy do y brać równanie funkcji, a nie same liczby?

[a4karo]

A spróbowałes sobie to narysować:

1.jpg (27.75 KiB) Przejrzano 146 razy

Obszar ograniczony jest z góry funkcją \(\displaystyle{ f(x)=5}\), a z dołu funkcją \(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}\red{ -x+6} & \red{1\leq x\leq 4}\\ \green{ x-6} &\green{ 4<x\leq 7}\end{cases}}\)

Zatem pole wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ P=\iint_Ddxdy=\int_1^7 \left(\int_{g(x)}^{f(x)} dy\right)dx}\)

Funkcja \(\displaystyle{ g}\) wyraża sie różnymi wzorami w różnych obszarach, wygodnie jest więc rozbic całkę względem \(\displaystyle{ x}\) na takie kawałki, gdzie funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest opisana innymi wzorami:
\(\displaystyle{ P=\int_1^4 \left(\int_{g(x)}^{f(x)} dy\right)dx + \int_4^7 \left(\int_{g(x)}^{f(x)} dy\right)dx=\\
\int_1^4 \left(\int^{5}_{\red{-x+6}} dy\right)dx + \int_4^7 \left(\int^{5}_{\green{x-6}} dy\right)dx}\)

Uniknąłbyś tego problemu całkując w odwrotnym kierunku:
\(\displaystyle{ P=\iint_D dxdy=\int_2^5\left(\int_?^?dx\right)dy}\)

Wpisz własciwe granice całkowania zamiast znaków zapytania