9 wzorów na pole trójkąta

[kosa0404]

Zna może ktoś 9 wzorów na pole trójkąta ?
Prosze o odpowiedz !

[ktosia]

Pole trójkąta równobocznego:

\(\displaystyle{ P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\)

[Lena]

Wszystkie oznaczenia są wspólne:

a,b,c - długości boków trójkąta,
\(\displaystyle{ \sin{\alpha}}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku a,

\(\displaystyle{ \sin{\beta}}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku b,

\(\displaystyle{ \sin{\gamma}}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku c,

r - promień okręgu wpisanego w trójkąt,
R- promień okręgu opisanego na trójkącie,

1)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin{\alpha}}\)

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin{\beta}}\)

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin{\gamma}}\)

2)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h}\)

3)
\(\displaystyle{ P=p\cdot r}\), gdzie \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\)

4)
\(\displaystyle{ P=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R}}\)

5)
\(\displaystyle{ P=2\cdot R^2 \sin{\alpha}\cdot \sin{\beta}\cdot \sin{\gamma}}\)

6)
Wzór Herona:

\(\displaystyle{ P=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}}\)

7)
W trójkącie równobocznym:

\(\displaystyle{ P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\)

8)
W geometrii analitycznej:

\(\displaystyle{ A=(x_a;y_a)}\), \(\displaystyle{ B=(x_b;y_b)}\), \(\displaystyle{ C=(x_c;y_c)}\) - wierzchołki trójkąta

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot | d e t (\vec{AB};\vec{AC})|}\)

gdzie \(\displaystyle{ | d e t (\vec{AB};\vec{AC})|}\) to wartość bezwzględna wyznacznika wektorów.

W tablicach matematycznych są tylko takie wzory.
To jest 8, a co z dziewiątym ?

[kinia7]

9)
trójkąt prostokątny:

\(\displaystyle{ P=r(r+2R)}\)

[mol_ksiazkowy]

11) \(\displaystyle{ S = \frac{a \rho_b \rho_c}{\rho_b + \rho_c}}\)

[Longines]

W swoich notatkach znalazłem jeszcze inny nie wymieniony wzór na pole trójkąta prostokątnego. Nie używam Latexa więc nie przedstawię go w formie wzoru, ale podam potrzebne dane to pewnie ktoś się domyśli i przedstawi w ładnej formie graficznej.
Dane:
Wartość przeciwprostokątnej
wartość wysokości na przeciwprostokątną.

[SlotaWoj]

11) \(\displaystyle{ S=\frac{a\rho_b\rho_c}{\rho_b+\rho_c}}\)

Z tego wynika, że wysokość trójkąta jest średnią harmoniczną z czego? Co to jest \(\displaystyle{ \rho_b}\) i \(\displaystyle{ \rho_c}\) ?

[bakala12]

Promienie okręgów dopisanych zdaje się.

[kerajs]

Z bardziej użytkowych :

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{ \sqrt{\left( \frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) \left( \frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }- \frac{1}{h _c }\right) \left( \frac{1}{h _a } - \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) \left( -\frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) } }}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \frac{a^2}{\ctg B +\ctg C} = \frac{1}{2}h^2_a \left( \ctg B +\ctg C\right)}\)

[mol_ksiazkowy]

oraz :
\(\displaystyle{ S= \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2) \tg(\omega)}\) gdzie \(\displaystyle{ \omega}\) jest kątem Brocarda.
\(\displaystyle{ \ctg(\omega) = \ctg(\alpha) + \ctg(\beta)+ \ctg(\gamma)}\)

zaś z sinusem: \(\displaystyle{ \sin(\omega) = \frac{2S}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2+ a^2c^2 }}}\)

Promienie okręgów dopisanych

Mamy też
\(\displaystyle{ \begin{cases} S= \rho_a(p-a) \\S=\rho_b(p-b) \\S=\rho_c(p-c) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ S=\sqrt{r \rho_a \rho_b \rho_c }}\)

był też \(\displaystyle{ \sqrt{S} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3}}\)
czym są \(\displaystyle{ S_1, S_2, S_3}\) ?

[kinia7]

10)
\(\displaystyle{ P=\frac{h_a^2}{\sqrt{\left((\frac{h_a}{h_c}+\frac{h_a}{h_b})^2-1\right)\left(1-(\frac{h_a}{h_c}-\frac{h_a}{h_b})^2\right)}}}\)

[Santiago A]

Sprawdź dwie prace:

Baker, M. "A Collection of Formulæ for the Area of a Plane Triangle." Ann. Math. 1, 134-138, 1884,
Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 123-124, 1987.

Znajdziesz tam łącznie ponad sto różnych wzorów pozwalających wyznaczyć pole powierzchni trójkąta płaskiego.

[Brombal]

Generalnie można poprzekształcać co nieco:)
\(\displaystyle{ P= \frac{ S_{g} ^3 }{4R}}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{3rS _{a} }{2}}\)

[mol_ksiazkowy]

Conway

\(\displaystyle{ 4S^2 = S_{AB} + S_{BC}+ S_{CA} = \frac{1}{2}(a^2S_a+ b^2S_B+c^2S_C)}\)

\(\displaystyle{ S_A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2}}\) itd .
\(\displaystyle{ S_{BC} = S_BS_C}\) itd

[mol_ksiazkowy]

Pole trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ (x_1, y_1) , (x_2, y_2), (x_3,y_3)}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}|\left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]|}\)