Całka podwójna - obliczanie współczynnikami biegunowymi

[raximon]

Na wstępie chciałbym powiedzieć, że dopiero poznaję całki dwukrotne i nie rozumiem wielu niuansów, dlatego prosiłbym kogoś o na kierunkowanie mnie na właściwe myślenie. Chciałbym przedstawić pewne zadanie rozwiązane przez mojego wykładowce (sposób w jaki go zapisałem jest lekko chaotyczny, więc nie do końca rozumiem co się z czym składa)

Po pierwsze mieliśmy podane coś takiego
\(\displaystyle{ 1 \le x ^{2} +y ^{2} \le 4}\) - logicznie myśląc to jest obszar ograniczający...
\(\displaystyle{ z=0}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{4}{x ^{2} +y ^{2} }}\) - funkcja "gęstości"?

Następnie po tym naszkicował wykres, który przypominał coś takiego (to nie jest wykres tej funkcji, chodzi mi o kształt tej płaszczyzny, której czubek znajdował się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\))

obraz-matematyka.gif (3.53 KiB) Przejrzano 191 razy

To już mi się nie zgadzało, ponieważ gdybym za \(\displaystyle{ x}\) oraz za \(\displaystyle{ y}\) zaczął podstawiać wartości dążące do zera, to wykres przypominałby raczej

gdzie w punkcie \(\displaystyle{ x=0,y=0}\) "\(\displaystyle{ z}\)" też jest równy \(\displaystyle{ 0}\).

Dlaczego ten wykres tak wygląda? Czy dobrze zrozumiałem podane zależności na początku zadania?

[Waylays]

Nawiązując do wstępu, to nie za bardzo tu widzę konkretne zadanie, tym bardziej nie widzę jego rozwiązania.

Pierwsze ograniczenie to pewny pierścień - obszar płaski, między okręgiem \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), a okręgiem \(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\). Jeżeli jesteśmy w kontekście całki podwójnej, to \(\displaystyle{ z=0}\) oraz \(\displaystyle{ z= \frac{4}{x^2+y^2}}\) są powierzchniami ograniczającymi bryłę, z którą coś masz zrobić. Z reguły to albo policzyć pole, albo objętość, albo po prostu całkę jakiejś funkcji po takim obszarze. Bryła jest jeszcze oczywiście ograniczona przez powierzchnie walcowe, których tworzące są prostopadłe do płaszczyzny \(\displaystyle{ oxy}\) i przechodzą przez punkty brzegowe obszaru płaskiego.

Pierwszy wykres jest okay, a przynajmniej kształt mniej więcej się zgadza, bo wartości nie widzę. Zauważ, że jeżeli za \(\displaystyle{ z}\) będziesz podstawiał coraz większe liczby (interpretując geometrycznie - będziesz badał kolejne przekroje wykresu funkcji płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny \(\displaystyle{ oxy}\) dla \(\displaystyle{ z>0}\) - są one prostopadłe do osi \(\displaystyle{ z}\)), to przekształcając równanie
\(\displaystyle{ z= \frac{4}{x^2+y^2}}\) do równania \(\displaystyle{ x^2+y^2= \frac{4}{z}}\), \(\displaystyle{ z \neq 0}\)
będziesz otrzymywał okręgi o coraz mniejszym promieniu, który przy \(\displaystyle{ z \rightarrow \infty}\) dąży do zera.

W przypadku tego pierwszego ciężko mówić o wierzchołku. Natomiast drugi wykres nie za bardzo tutaj do czegoś pasuje. O ile dobrze widzę, jest to wykres funkcji \(\displaystyle{ y=e^{ \frac{1}{x^2+y^2}}\). Tutaj w żadnym wypadku dla \(\displaystyle{ (x,y)=(0,0)}\) wartość \(\displaystyle{ z}\) nie będzie wynosić \(\displaystyle{ 0}\) bo w \(\displaystyle{ (x,y)=(0,0)}\) funkcja nie jest określona. W poprzednim również współrzędna \(\displaystyle{ z}\) wierzchołka nie będzie równa \(\displaystyle{ 0}\), nie wiem czemu napisałeś "też". Najwyżej możesz sobie policzyć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0) } \frac{4}{x^2+y^2}=+\infty}\).
Stąd też napisałem, że ciężko mówić o wierzchołku, bo teoretycznie on by był gdzieś w nieskończoności. Praktycznie rzecz biorąc nasza funkcja, jako funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej, nie jest określona w punkcie \(\displaystyle{ (x,y)=(0,0)}\), więc nie przyjmuje tam wartości.

[kinia7]

\(\displaystyle{ 1 \le x ^{2} +y ^{2} \le 4}\) - logicznie myśląc to jest obszar ograniczający...
\(\displaystyle{ z=0}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{4}{x ^{2} +y ^{2} }}\) - funkcja "gęstości"?

Współrzędne biegunowe (walcowe)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi\\x^2+y^2=r^2\\ dx\,dy \rightarrow r\,dr\,d\varphi\\1<r^2<4 \rightarrow 1<r<2\\z=\frac{4}{r^2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \int_0^{2\pi}\int_1^2\frac{4}{r^2}\cdot r\,dr\,d\varphi}\)

[raximon]

Waylays napisał(a):

Nawiązując do wstępu, to nie za bardzo tu widzę konkretne zadanie, tym bardziej nie widzę jego rozwiązania.

Nie wypisałem tutaj całego zadania, ponieważ chodziło mi właśnie o kwestie tej płaszczyzny. Samo rozwiązanie zadania to czysty rachunek...

Waylays napisał(a):

Jeżeli jesteśmy w kontekście całki podwójnej, to z=0 oraz z= frac{4}{x^2+y^2} są powierzchniami ograniczającymi bryłę, z którą coś masz zrobić.

Tak, wiem, to był mój błąd, mogłem napisać, że oczywiście chodzi o policzenie objętości tej bryły...

Waylays napisał(a):

Pierwszy wykres jest okay, a przynajmniej kształt mniej więcej się zgadza, bo wartości nie widzę. Zauważ, że jeżeli za z będziesz podstawiał coraz większe liczby (interpretując geometrycznie - będziesz badał kolejne przekroje wykresu funkcji płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny oxy dla z>0 - są one prostopadłe do osi z), to przekształcając równanie
z= frac{4}{x^2+y^2} do równania x^2+y^2= frac{4}{z}, z
eq 0
będziesz otrzymywał okręgi o coraz mniejszym promieniu, który przy z
ightarrow infty dąży do zera.

No i właśnie, skoro jeśli zmienne \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) dążą do zera w tym wzorze \(\displaystyle{ z= \frac{4}{x^2+y^2}}\) to ta płaszczyzna nie powinna względem osi \(\displaystyle{ O _{X,Y}}\) "zamykać się" takim łagodnym wybrzuszeniem, powinna raczej piąć się w nieskończoność, czyli \(\displaystyle{ z=\infty}\)

Tutaj w żadnym wypadku dla (x,y)=(0,0) wartość z nie będzie wynosić 0 bo w (x,y)=(0,0) funkcja nie jest określona.

Masz tutaj absolutną racje, to był mój błąd, musiałbym sobie powtórzyć pare podstawowych rzeczy

[Waylays]

No i właśnie, skoro jeśli zmienne \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) dążą do zera w tym wzorze \(\displaystyle{ z= \frac{4}{x^2+y^2}}\) to ta płaszczyzna nie powinna względem osi \(\displaystyle{ O _{X,Y}}\) "zamykać się" takim łagodnym wybrzuszeniem, powinna raczej piąć się w nieskończoność

Wydaje mi się, że prowadzący wam to narysował dla bardzo dużych \(\displaystyle{ z}\), żeby wam uświadomić jaki to przyjmuje kształt, żeby was nie wprowadzać w błąd, że to się w pewnym momencie jakoś ucina i koniec. Jak sobie wpiszesz to równanie w wolframie, to ci wyrzuci wykres dla \(\displaystyle{ z}\) do około \(\displaystyle{ 10}\), tak jakbyś przeciął ten swój wykres płaszczyzną \(\displaystyle{ z=k}\). To nie oznacza, że wyżej nic nie ma, tylko po prostu nie starczyło mu osi. To fakt, że ta powierzchnia będzie w rzeczywistości dużo węższa i wyższa dla dużych \(\displaystyle{ z}\).