R. różniczkowe liniowe jednorodne

[raximon]

Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć, jakie operacje zastosowano pomiędzy przekształceniem (w przykładowym równaniu różniczkowym, gdzie zamiast konkretnych funkcji użyto oznaczeń \(\displaystyle{ P(x)}\) I \(\displaystyle{ Q(x)}\)

A równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ y'+P(x)y=Q(x)\\
Q(x)=0}\)

Przy wyznaczaniu całki ogólnej wystąpiło takie przekształcenie:
\(\displaystyle{ \ln\left| y\right|=-\int P(x)+C _{1}\\
\ln\left| y\right|=-\int P(x)+\ln\left| C _{2} \right| C _{2}=C\\
\ln\left| y\right|=\ln\left| \frac{C _{2} }{ -\int P(x)}\right|}\)

O co w tym chodzi?

[cosinus90]

A równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ y'+P(x)y=Q(x)\\
Q(x)=0}\)

Z tego wynika, że \(\displaystyle{ y' + P(x)y=0 \Rightarrow y'=-P(x)y}\). Teraz można zamienić pochodną na symbol \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) i dostajemy równanie

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=-P(x)y}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ y }=-P(x) \mbox{d}x}\)

I teraz całkujesz stronami.

P.S. W całkach po prawych stronach równań które napisałeś w swoim poście, brakuje różniczek \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\).

[raximon]

A jak to się ma z tymi stałymi? Bo idąc dalej, po obustronnym zcałkowaniu:
\(\displaystyle{ \ln\left| y\right| =-\int P(x)+C}\)

no i w następnym ruchu już są zupełnie inne stałe, to znaczy "\(\displaystyle{ \ln\left| C _{2} \right| C _{2}}\)"

cosinus90 napisał(a):

P.S. W całkach po prawych stronach równań które napisałeś w swoim poście, brakuje różniczek mbox{d}x.

Nie bardzo rozumiem o co chodzi...

[cosinus90]

cosinus90 napisał(a):

P.S. W całkach po prawych stronach równań które napisałeś w swoim poście, brakuje różniczek mbox{d}x.

Nie bardzo rozumiem o co chodzi...

O to, że zapis \(\displaystyle{ -\int_{}^{} P(x)}\) jest błędny, poprawny jest \(\displaystyle{ \int_{}^{} P(x) \mbox{d}x}\). W Twoim pierwszym poście w każdej całce powinno tak być.

Wracając do tematu, to co przepisałeś jest niezbyt poprawne. Na pewno tak to było na zajęciach? Powinno być tak :

\(\displaystyle{ \ln\left| y\right|=-\int P(x) \mbox{d}x +C _{1}}\)

i z definicji logarytmu mamy

\(\displaystyle{ y = e^{-\int P(x) \mbox{d}x +C _{1}}=e^{-\int P(x) \mbox{d}x} \cdot e^{C _{1}}=e^{-\int P(x) \mbox{d}x} \cdot C_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ C_{2}=e^{C_{1}}}\).

[raximon]

Ten przykład zaczerpnąłem z internetu i właśnie staram się zrozumieć, co autor "miał na myśli" wykonując każdy krok:

W przypadku tego całkowania obustronnego nie powinno wystąpić całkowanie po zmiennej \(\displaystyle{ y}\) ? Bo jeżeli całkuje z lewej strony równania \(\displaystyle{ \int\frac{dy}{y}}\) , to powinienem całkować tak z prawej strony równania? Czyli:

\(\displaystyle{ \ln\left| y\right| =-\int P(x)dy+C}\)

Już sam nie wiem, teraz mam jeszcze więcej pytań niż odpowiedzi...

I przyjmując, że następny krok powinien wyglądać tak, jak napisałeś, to używam operacji odwrotnej od logarytmu naturalnego, czyli:

\(\displaystyle{ y=e ^{-\int P(x)dx+C}\\
y=e ^{-\int P(x)dx} \cdot e ^{C}\\
y=e ^{-\int P(x)dx} \cdot C _{1}}\)

Czy to jest rozwiązaniem tego równania?

Tak więc o co chodziło temu komuś, który napisał tak:
\(\displaystyle{ \ln\left| y\right|=-\int P(x)+C _{1}\\ \ln\left| y\right|=-\int P(x)+\ln\left| C _{2} \right| C _{2}=C\\ \ln\left| y\right|=\ln\left| \frac{C _{2} }{ -\int P(x)}\right|}\)
?

[cosinus90]

Jeżeli całkujemy obustronnie, to po odpowiednich zmiennych - czyli w równaniu \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}y}{y} = -P(x) \mbox{d}x}\) całkujemy lewą stronę po \(\displaystyle{ \mbox{d}y}\), a prawą po \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\). Zauważ, że po to właśnie były te wcześniejsze operacje z przerzucaniem wyrażeń z iksem na prawą stronę równania, a wyrażeń z igrekiem na lewą - aby móc scałkować każdą stronę równania po odpowiedniej zmiennej. Wcześniej nie można by było całkować.

I przyjmując, że następny krok powinien wyglądać tak, jak napisałeś, to używam operacji odwrotnej od logarytmu naturalnego, czyli:

\(\displaystyle{ y=e ^{-\int P(x)dx+C}\\
y=e ^{-\int P(x)dx} \cdot e ^{C}\\
y=e ^{-\int P(x)dx} \cdot C _{1}}\)

Czy to jest rozwiązaniem tego równania?

Tak. Jest to rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego.

Tak więc o co chodziło temu komuś, który napisał tak:
\(\displaystyle{ \ln\left| y\right|=-\int P(x)+C _{1}\\ \ln\left| y\right|=-\int P(x)+\ln\left| C _{2} \right| C _{2}=C\\ \ln\left| y\right|=\ln\left| \frac{C _{2} }{ -\int P(x)}\right|}\)
?

Ten ktoś popełnił błąd, prawdopodobnie z przyzwyczajenia (czasem pisze się stałą \(\displaystyle{ C}\) w postaci logarytmicznej w celu ułatwienia rachunków, ale akurat tutaj to nie zadziała).

[raximon]

Super, dziękuje.

A gdyby w danym równaniu różniczkowym był podany warunek początkowy, to oznacza, że wtedy można policzyć całkę szczególną równania?

[cosinus90]

Tak.