Zbadaj zbieżność całki

[legolas]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{\dd{x}}{e^{ \sqrt[3]{x} }-1}}\)

Jak to ograniczyć?

[a4karo]

\(\displaystyle{ e^x=1+x+x^2/2+\dots...}\)

[legolas]

Hmm, ok, to jest rozwinięcie z szeregu Maclaurina dla \(\displaystyle{ e^x}\). Ale dla \(\displaystyle{ e^{ \sqrt[3]{x} }}\) będzie przecież inne (a \(\displaystyle{ f'(0)}\) jest równa nieskończoność wtedy)

[a4karo]

No to może tak
\(\displaystyle{ e^{\sqrt[3]{x}}=1+{\sqrt[3]{x}}+{\sqrt[3]{x^2}}/2+\dots...}\)

Co dominuje w pobliżu zera?

[legolas]

Jedynka

[a4karo]

A nie odejmujesz jej przypadkiem w tej całce?

[legolas]

Zrozumiałem, że pytanie dotyczy tego

No to może tak
\(\displaystyle{ e^{\sqrt[3]{x}}=1+{\sqrt[3]{x}}+{\sqrt[3]{x^2}}/2+\dots...}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{\dd{x}}{e^{ \sqrt[3]{x} }-1} \le \int_{0}^{1}\frac{\dd{x}}{ 1+{\sqrt[3]{x}}+\frac{{\sqrt[3]{x^2}}}{2}-1}=\int_{0}^{1}\frac{\dd{x}}{ \sqrt[3]{x}}\left( 1+\frac{\sqrt[3]{x}}{2}\right) \le\int_0^1\frac{\dd{x}}{ \sqrt[3]{x}}=\left[ \frac{3x^{ \frac{2}{3} }}{2} \right]_0^1 < \infty}\)

Czyli zbieżne

[a4karo]

Ano tak włąsnie (z tymi kropeczkami trzeba by coś zrobić, ale idea jest własnie taka)