Objętość figury-całka wielokrotna.

[Manchester_Is_Red]

\(\displaystyle{ 1 \le z \le \sqrt{4-x^2-y^2}}\)

Opisałem ten obszar następującymi równościami, ale nie mam pojęcia, czy to jest dobrze:
\(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \psi \le ( \pi /2)}\)
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2}\)

Mógłby ktoś mnie ewentualnie poprawić i wyjaśnić jak to zrobić?
Dzięki za pomoc i pozdrawiam!

[a4karo]

\(\displaystyle{ z=\sqrt{4-x^2-y^2}}\) to powierzchnia sfery. Sprawdź jednak, czy całkować trzeba po całym kole o promieniu 2? Zwróć uwagę na dolne ograniczenie. Jaki ma to wpływ na \(\displaystyle{ \psi}\)?

Może lepiej policzyć tę objętość całka pojedynczą? wszak obracasz kawałek okręgu wokół osi \(\displaystyle{ Oz}\).

[Manchester_Is_Red]

No i właśnie na tym polega mój problem, głównie chodzi mi o \(\displaystyle{ \psi}\)
Wiem, że z dołu powinien być troszkę większy kąt niż 0, ale nie mam pojęcia jak go wyliczyć.

[a4karo]

Wstaw do równania powierzchni \(\displaystyle{ z=1}\)

[Manchester_Is_Red]

Nie rozumiem dokładnie co masz na myśli, mógłbyś bardziej mi to wyjaśnić?

[a4karo]

A próbowałeś wstawić do tego równania zet równe jeden? Co wyszło? To równanie pisze ci jak wygląda przecięcie sfery i płaszczyzny

[Manchester_Is_Red]

Ok, wpadłem na lepszy pomysł, na 100% jest on dobry, odpowiedź wyszła prawidłowa.

Będzie to:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2 \pi }\int\limits_{0}^{ \sqrt{3} } (\sqrt{4-r ^{2} }-1 ) d \varphi dr}\)

Ale i tak dzięki za pomoc Pozdrawiam!

[a4karo]

Zauważ, że to jest dokłądnie to, o czym pisałem. Bo niby skąd wziąłęś \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)?

[kinia7]

Ok, wpadłem na lepszy pomysł, na 100% jest on dobry, odpowiedź wyszła prawidłowa.

Będzie to:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2 \pi }\int\limits_{0}^{ \sqrt{3} } (\sqrt{4-r ^{2} }-1 ) d \varphi dr}\)

To bardzo dziwne, bo
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2 \pi }\int\limits_{0}^{ \sqrt{3} } (\sqrt{4-r ^{2} }-1 ) d \varphi dr \approx -5,4+26,1i}\)

a
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2 \pi }\int\limits_{0}^{ \sqrt{3} } (\sqrt{4-r ^{2} }-1 )dr d \varphi \approx 7,7}\)

a prawidłowa objętość to:
\(\displaystyle{ \int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\int_{-\sqrt{3-x^2}}^{\sqrt{3-x^2}}\int_1^{\sqrt{4-x^2-y^2}}1\,dz\,dy\,dx=\frac{5}{3}\pi \approx 5,2}\)

[a4karo]

Najprościej jednak tak:
Narysujmy przekrój tego cuda płaszczyzną \(\displaystyle{ y=0}\)

1.jpg (18.85 KiB) Przejrzano 127 razy

Bryła powstaje z obrócenia niebieskiej krzywej dookoła osi \(\displaystyle{ Oz}\), więc jej objętośc jest równa
\(\displaystyle{ \pi\int_1^2 (4-z^2)dz=\frac{5\pi}{3}}\)

[Manchester_Is_Red]

Hmm, zrobiłem ten przykład razem z moją Panią doktor, według tego co napisałem na początku i wyszło nam dobrze.
W każdym bądź razie, dzięki za pomoc
Temat do zamknięcia, pozdrawiam!