Całka podwójna ograniczona krzywymi

[Paitius]

Cześć,

Całka:\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} 2xy dx dy}\) ograniczona krzywymi \(\displaystyle{ x=y ^{2}, y=2-x}\)

Zrobiłem sobie rysunek:

AU

6j1g2Pq.png (5.16 KiB) Przejrzano 145 razy

\(\displaystyle{ D_{1} = \begin{cases} 0 \le y \le 1 \\ - \sqrt{x} \le x \le \sqrt{x} \end{cases}
D _{2} = \begin{cases} 1 \le y \le 4 \\ - \sqrt{x} \le x \le 2-x \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left\{ \int_{- \sqrt{x} }^{ \sqrt{x} } 2xy dy \right\}dx}\)

Już przy liczeniu tej całki widzę, że jest źle, bo wychodzi ona równa 0. Błąd jest w granicach ?

[a4karo]

Zdziwiłbym się gdyby nie wyszła zero. Przecież funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem \(\displaystyle{ y}\).

A całka podwójna ograniczona krzywymi wygląda tak: \(\displaystyle{ \curlyvee \iint (}\)

[Paitius]

Nie spotkałem się jeszcze z zadaniem, gdzie całka wyszła 0, stąd moja wątpliwość. Czyli jednak granice są dobrze wyznaczone.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left\{ \int_{- \sqrt{x} }^{ \sqrt{x} } 2xy dy \right\}dx = 0}\)

\(\displaystyle{ \int_{1}^{4} \left\{ \int_{- \sqrt{x} }^{ 2-x } 2xy dy \right\}dx = -11 \frac{1}{4}}\)

Więc:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{D}^{} 2xy dx dy = -11 \frac{1}{4}}\)

Wszystko się zgadza ?

[a4karo]

Rachunku nie sprawdzałem. Idea jest ok.

Miałbyś łatwiej gdyby zewnętrzna całka była po igreki, a wewnętrzna po iksie.

[Paitius]

Dzięki wielkie