Całka podwójna ograniczona dwoma okręgami

[Paitius]

\(\displaystyle{ \int_{ }^{ } \int_{ }^{ } \frac{x^{2} + y^{2} }{2}dxdy}\)

AU

rysunek124032.png (6.9 KiB) Przejrzano 340 razy

Przechodzę na współrzędne biegunowe:
x=rcosx
y=rsinx
Więc granice będą wyglądać tak: ???
\(\displaystyle{ D: \begin{cases} 2 < r < 3 \\ -\frac{ \pi }{2} < \phi < \frac{ \pi }{2} \end{cases}}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{- \pi }{3} \le \phi \le \frac{ \pi }{3} \\ 2 \le r \le 4\cos \phi \end{cases}}\)

[Paitius]

Hmm, widzę, że \(\displaystyle{ 2 \le r \le 4\cos \phi}\) pochodzi od podstawienia pod \(\displaystyle{ 4 \le x^{2} + y^{2} \le 4x}\).
Skąd się bierze \(\displaystyle{ \frac{- \pi }{3} \le \phi \le \frac{ \pi }{3}}\) ?

[cosinus90]

Na początku powinieneś zauważyć, że kąt leży w pierwszej i czwartej ćwiartce. Wyznacz teraz współrzędne punktów przecięcia okręgów, a następnie kąty nachylenia prostych łączących te punkty z początkiem układu współrzędnych.

[kerajs]

Można także zrobić to rachunkowo. Twój obszar to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2 \ge 2^2 \\ (x-2)^2+y^2 \le 2^2 \end{cases} \\
\begin{cases} (r\cos \phi)^2+(r\sin \phi)^2 \ge 2^2 \\ (r\cos \phi-2)^2+r\sin \phi^2 \le 2^2 \end{cases} \\
\begin{cases} r^2 -4\ge 0 \\ r^2-4r\cos \phi\le 0 \end{cases} \\
\begin{cases} (r-2)(r+2)\ge 0 \ \ \ (\wedge r \ge 0 )\\ r(r-4\cos \phi)\le 0 \end{cases} \\
\begin{cases} r \ge 2 \\ 0 \le r \le 4\cos \phi \end{cases}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ 2\le r \le 4\cos \phi}\)
szukam gdzie okręgi się przecinają ( jest ten sam promień)
\(\displaystyle{ r=2=4\cos \phi\\
\cos \phi= \frac{1}{2} \\
\phi=\frac{ \pi }{3} \vee \phi=\frac{- \pi }{3}}\)

[Paitius]

Rozumiem już! Dzięki wielkie!

Teraz:
\(\displaystyle{ \int_{ -\frac{ \pi }{3} }^{ \frac{ \pi }{3} } \left\{ \int_{2}^{4cos \phi} \frac{ r^{3} }{2} dr\right\} d \phi = \int_{ -\frac{ \pi }{3} }^{ \frac{ \pi }{3} } \left\{ 32 cos^{4} \phi - 2 \right\}d \phi = 8 \pi + 7 \sqrt{3} \pi}\)

Zgadza się ?

[cosinus90]

Wynik ostatniej całki Wolfram pokazuje nieco inny : \(\displaystyle{ 7\sqrt{3}+\frac{20\pi}{3}}\). Sprawdź jeszcze rachunki.

[Paitius]

Wynik ostatniej całki Wolfram pokazuje nieco inny : \(\displaystyle{ 7\sqrt{3}+\frac{20\pi}{3}}\). Sprawdź jeszcze rachunki.

Fakt, czeski błąd. Dzięki wielkie za pomoc